حساب المثلثات الأمثلة

$- 110 \cos (x) = 40 \cos^{2} (x) + 60$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $40 \cos^{2} (x)$ من كلا المتعادلين.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) = 60$

خطوة 1.2

اطرح $60$ من كلا المتعادلين.

$- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

خطوة 2

حلّل $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $10$ من $- 110 \cos (x) - 40 \cos^{2} (x) - 60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $10$ من $- 110 \cos (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) - 40 \cos^{2} (x) - 60 = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $10$ من $- 40 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) - 60 = 0$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $10$ من $- 60$ .

$10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $10$ من $10 (- 11 \cos (x)) + 10 (- 4 \cos^{2} (x))$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6) = 0$

خطوة 2.1.5

أخرِج العامل $10$ من $10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x)) + 10 (- 6)$ .

$10 (- 11 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 6) = 0$

خطوة 2.2

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (x)$ .

$10 (- 11 u - 4 u^{2} - 6) = 0$

خطوة 2.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

خطوة 2.3.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 4 \cdot - 6 = 24$ ومجموعهما $b = - 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أخرِج العامل $- 11$ من $- 11 u$ .

$10 (- 4 u^{2} - 11 u - 6) = 0$

خطوة 2.3.2.2

أعِد كتابة $- 11$ في صورة $- 3$ زائد $- 8$

$10 (- 4 u^{2} + (- 3 - 8) u - 6) = 0$

خطوة 2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$10 (- 4 u^{2} - 3 u - 8 u - 6) = 0$

خطوة 2.3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$10 ((- 4 u^{2} - 3 u) - 8 u - 6) = 0$

خطوة 2.3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$10 (u (- 4 u - 3) + 2 (- 4 u - 3)) = 0$

خطوة 2.3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 4 u - 3$ .

$10 ((- 4 u - 3) (u + 2)) = 0$

خطوة 2.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$10 ((- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2)) = 0$

خطوة 2.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

$\cos (x) + 2 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $- 4 \cos (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $- 4 \cos (x) - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 4 \cos (x) - 3 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 4 \cos (x) - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$- 4 \cos (x) = 3$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (x) = 3$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (x) = 3$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

خطوة 4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

احسِب قيمة $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

خطوة 4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

خطوة 4.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

خطوة 4.2.6.2

بسّط $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

خطوة 4.2.6.2.2

اطرح $2.4188584$ من $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (x) + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) + 2 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) + 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) = - 2$

خطوة 5.2.2

مدى جيب التمام هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- 2$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $10 (- 4 \cos (x) - 3) (\cos (x) + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$