حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد الكتابة من حيث الجيوب وجيوب التمام، ثم احذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

خطوة 1.1.1.2

أعِد كتابة $\cos (x) \tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \cot (x) = \csc (x)$

خطوة 1.1.1.3

ألغِ العوامل المشتركة.

$\sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\csc (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 3

اضرب كلا المتعادلين في $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 4

طبّق خاصية التوزيع.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 5

اضرب $\sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 5.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 6

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 7

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

خطوة 8

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 9

بسّط $\sin^{2} (x) + \cos (x) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $- 1$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x) = 0$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب $\sin^{2} (x)$ و $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 9.4

أخرِج العامل $- 1$ من $\sin^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

خطوة 9.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

خطوة 9.6

أعِد كتابة $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ بالصيغة $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

خطوة 9.7

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) = 0$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (x)$ .

$- u^{2} + u = 0$

خطوة 10.1.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2} + u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

خطوة 10.1.2.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$u (- u) + u = 0$

خطوة 10.1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

خطوة 10.1.2.4

أخرِج العامل $u$ من $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

خطوة 10.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 10.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 10.3

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 10.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 10.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 10.3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 10.3.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 10.3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 10.3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 10.3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 10.3.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 10.3.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.3.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10.4

عيّن قيمة العبارة $- \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

عيّن قيمة $- \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 10.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $- \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \cos (x) = - 1$

خطوة 10.4.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 10.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 10.4.2.2.2.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 10.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\cos (x) = 1$

خطوة 10.4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 10.4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 10.4.2.5

$x = 2 π - 0$

خطوة 10.4.2.6

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 10.4.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.4.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (x) (- \cos (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11.2

ادمج $2 π n$ و $2 π + 2 π n$ في $2 π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 12

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\cos (x) (\tan (x)) + \cot (x) = \csc (x)$ صحيحة.

$x = 1.57079632, 4.71238898, 6.2831853, 7.85398163, 10.99557428, 12.56637061, 14.13716694, 17.27875959, 18.84955592, 20.42035224, 23.5619449, 25.13274122, 31.41592653, 37.69911184, 43.98229715$ ، لأي عدد صحيح $n$