حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{1}{1 - \sin (x)}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{1 - \sin (y)}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$

خطوة 2.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1 - \sin (y), 1$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$1 - \sin (y), 1$

خطوة 2.2.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$1 - \sin (y)$

خطوة 2.3

اضرب كل حد في $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ في $1 - \sin (y)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{1 - \sin (y)} = x$ في $1 - \sin (y)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 - \sin (y)} (1 - \sin (y)) = x (1 - \sin (y))$

خطوة 2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = x (1 - \sin (y))$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = x \cdot 1 + x (- \sin (y))$

خطوة 2.3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

اضرب $x$ في $1$ .

$1 = x + x (- \sin (y))$

خطوة 2.3.3.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$1 = x - x \sin (y)$

خطوة 2.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x - x \sin (y) = 1$ .

$x - x \sin (y) = 1$

خطوة 2.4.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$- x \sin (y) = 1 - x$

خطوة 2.4.3

اقسِم كل حد في $- x \sin (y) = 1 - x$ على $- x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اقسِم كل حد في $- x \sin (y) = 1 - x$ على $- x$ .

$\frac{- x \sin (y)}{- x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 2.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 2.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \sin (y)}{x} = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 2.4.3.2.2.2

اقسِم $\sin (y)$ على $1$ .

$\sin (y) = \frac{1}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 2.4.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\sin (y) = \frac{- 1 (- 1)}{- x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 2.4.3.3.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{- x}{- x}$

خطوة 2.4.3.3.1.2

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 2.4.3.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 2.4.3.3.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (y) = - \frac{1}{x} + 1$

خطوة 2.5

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $y$ من داخل الجيب.

$y = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- \frac{1}{\frac{1}{1 - \sin (x)}} + 1)$

خطوة 4.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 (1 - \sin (x))) + 1)$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $1 - \sin (x)$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- (1 - \sin (x)) + 1)$

خطوة 4.2.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 \cdot 1 + \sin (x) + 1)$

خطوة 4.2.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

خطوة 4.2.3.5

اضرب $- - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + 1 \sin (x) + 1)$

خطوة 4.2.3.5.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (- 1 + \sin (x) + 1)$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 1 + \sin (x) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (0 + \sin (x))$

خطوة 4.2.4.2

أضف $0$ و $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{1 - \sin (x)}) = \arcsin (\sin (x))$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - \sin (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1))}$

خطوة 4.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{x} + 1)}$

خطوة 4.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.3.3.3

اضرب $- - \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{x}) - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.3.3.3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1 \cdot 1}$

خطوة 4.3.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{1 + \frac{1}{x} - 1}$

خطوة 4.3.3.5

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

خطوة 4.3.3.6

أضف $\frac{1}{x}$ و $0$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

خطوة 4.3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = 1 x$

خطوة 4.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\arcsin (- \frac{1}{x} + 1)) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{1 - \sin (x)}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (- \frac{1}{x} + 1)$