حساب المثلثات الأمثلة

$x = y^{2} - 8 y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y^{2} - 8 y = x$ .

$y^{2} - 8 y = x$

خطوة 2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} - 8 y - x = 0$

خطوة 3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 8$ و $c = - x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.3

أخرِج العامل $4$ من $64 + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة $4 (16 + x)$ بالصيغة $2^{2} (4^{2} + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.1.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

خطوة 5.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

خطوة 6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل $4$ من $64 + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة $4 (16 + x)$ بالصيغة $2^{2} (4^{2} + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.1.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

خطوة 6.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

خطوة 6.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

خطوة 7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $4$ من $64 + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 16 + 4 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة $4 (16 + x)$ بالصيغة $2^{2} (4^{2} + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.1.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ .

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

خطوة 7.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

خطوة 9

بدّل بين المتغيرات. وأنشئ معادلة لكل عبارة.

$x = 4 + \sqrt{16 + y}, x = 4 - \sqrt{16 + y}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 + \sqrt{16 + y} = x$ .

$4 + \sqrt{16 + y} = x$

خطوة 10.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{16 + y} = x - 4$

خطوة 10.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{16 + y}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

خطوة 10.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{16 + y}$ في صورة ${(16 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

خطوة 10.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

بسّط ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(16 + y)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

خطوة 10.4.2.1.2

بسّط.

$16 + y = {(x - 4)}^{2}$

خطوة 10.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

بسّط ${(x - 4)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 4)}^{2}$ بالصيغة $(x - 4) (x - 4)$ .

$16 + y = (x - 4) (x - 4)$

خطوة 10.4.3.1.2

وسّع $(x - 4) (x - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$16 + y = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

خطوة 10.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

خطوة 10.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

خطوة 10.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$16 + y = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

خطوة 10.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $x$ .

$16 + y = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

خطوة 10.4.3.1.3.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$16 + y = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

خطوة 10.4.3.1.3.2

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$16 + y = x^{2} - 8 x + 16$

خطوة 10.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 16$

خطوة 10.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 8 x + 16 - 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

اطرح $16$ من $16$ .

$y = x^{2} - 8 x + 0$

خطوة 10.5.2.2

أضف $x^{2} - 8 x$ و $0$ .

$y = x^{2} - 8 x$

خطوة 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

خطوة 12

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ هي معكوس $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ و $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ وقارن بينهما.

خطوة 12.2

أوجِد مدى $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

أوجِد مدى $4 + \sqrt{16 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[4, \infty)$

خطوة 12.2.2

أوجِد مدى $4 - \sqrt{16 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 4]$

خطوة 12.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

يتكون الاتحاد من جميع العناصر الموجودة في كل فترة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 12.3

أوجِد نطاق $4 + \sqrt{16 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{16 + x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$16 + x \geq 0$

خطوة 12.3.2

اطرح $16$ من كلا طرفي المتباينة.

$x \geq - 16$

خطوة 12.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- 16, \infty)$

خطوة 12.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ هو مدى $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ ومدى $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ هو نطاق $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ هي معكوس $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

خطوة 13