حساب المثلثات الأمثلة

$8 \sin (x) \cos (x) = \sin (4 x)$

خطوة 1

اطرح $\sin (4 x)$ من كلا المتعادلين.

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (4 x) = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - \sin (2 (2 x)) = 0$

خطوة 2.1.2

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$8 \sin (x) \cos (x) - (2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

خطوة 2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x)) = 0$

خطوة 2.1.4

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

خطوة 2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

خطوة 2.1.6

اضرب $4$ في $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

خطوة 2.1.7

اضرب $\sin (x)$ في $\sin^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.1

انقُل $\sin^{2} (x)$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

خطوة 2.1.7.2

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.7.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

خطوة 2.1.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2) = 0$

خطوة 2.1.7.3

أضف $2$ و $1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2) = 0$

خطوة 2.1.8

اضرب $- 2$ في $4$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

خطوة 2.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$8 \sin (x) \cos (x) - (4 \sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

خطوة 2.1.10

اضرب $4$ في $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) - (- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

خطوة 2.1.11

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 (\sin (x) \cos (x)) + 8 (\sin^{3} (x) \cos (x)) = 0$

خطوة 2.1.12

احذِف الأقواس.

$8 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 2.2

اطرح $4 \sin (x) \cos (x)$ من $8 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 3

أخرِج العامل $4 \sin (x) \cos (x)$ من $4 \sin (x) \cos (x) + 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $4 \sin (x) \cos (x)$ من $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $4 \sin (x) \cos (x)$ من $8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $4 \sin (x) \cos (x)$ من $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

$4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 5.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 6.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 6.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 6.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $1 + 2 \sin^{2} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $1 + 2 \sin^{2} (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin^{2} (x) = - 1$

خطوة 7.2.2

اقسِم كل حد في $2 \sin^{2} (x) = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin^{2} (x) = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 7.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin^{2} (x)$ على $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4

بسّط $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{2}$ بالصيغة $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $i^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sin (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4.4

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.5

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.6

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 7.2.4.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.7.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

خطوة 7.2.4.7.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

خطوة 7.2.4.7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.4.7.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 7.2.4.7.6

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.2.4.7.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.2.4.7.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.4.7.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.2.4.7.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

خطوة 7.2.4.7.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.4.8

اجمع $i$ و $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

خطوة 7.2.7

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.7.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

خطوة 7.2.7.2

دالة الجيب العكسية لـ $\arcsin (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 7.2.8

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

خطوة 7.2.8.2

دالة الجيب العكسية لـ $\arcsin (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 7.2.9

اسرِد جميع الحلول.

لا يوجد حل

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 \sin (x) \cos (x) (1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$ صحيحة.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$