حساب المثلثات الأمثلة

$y = - x^{2} + 17 x - 42$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $- x^{2} + 17 x - 42$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 17$

$c = - 42$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{17}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$d = \frac{17}{- 2}$

خطوة 1.1.1.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{17}{2}$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 42 - \frac{17^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $17$ إلى القوة $2$ .

$e = - 42 - \frac{289}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = - 42 - \frac{289}{- 4}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = - 42 - - \frac{289}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- - \frac{289}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = - 42 + 1 (\frac{289}{4})$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4.2

اضرب $\frac{289}{4}$ في $1$ .

$e = - 42 + \frac{289}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.2

لكتابة $- 42$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$e = - 42 \cdot \frac{4}{4} + \frac{289}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.3

اجمع $- 42$ و $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 42 \cdot 4}{4} + \frac{289}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{- 42 \cdot 4 + 289}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.5.1

اضرب $- 42$ في $4$ .

$e = \frac{- 168 + 289}{4}$

خطوة 1.1.1.4.2.5.2

أضف $- 168$ و $289$ .

$e = \frac{121}{4}$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - \frac{17}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$ .

$- {(x - \frac{17}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - {(x - \frac{17}{2})}^{2} + \frac{121}{4}$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 1$

$h = \frac{17}{2}$

$k = \frac{121}{4}$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(\frac{17}{2}, 30)$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = \frac{17}{2}$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{61}{2}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

البؤرة: $(\frac{17}{2}, 30)$

محور التناظر: $x = \frac{17}{2}$

الدليل: $y = \frac{61}{2}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

البؤرة: $(\frac{17}{2}, 30)$

محور التناظر: $x = \frac{17}{2}$

الدليل: $y = \frac{61}{2}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f (7) = - {(7)}^{2} + 17 (7) - 42$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (7) = - 1 \cdot 49 + 17 (7) - 42$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $49$ .

$f (7) = - 49 + 17 (7) - 42$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $17$ في $7$ .

$f (7) = - 49 + 119 - 42$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $- 49$ و $119$ .

$f (7) = 70 - 42$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $42$ من $70$ .

$f (7) = 28$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $28$ .

$28$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = 7$ تساوي $28$ .

$y = 28$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 17 (6) - 42$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 17 (6) - 42$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $36$ .

$f (6) = - 36 + 17 (6) - 42$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $17$ في $6$ .

$f (6) = - 36 + 102 - 42$

خطوة 2.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $- 36$ و $102$ .

$f (6) = 66 - 42$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $42$ من $66$ .

$f (6) = 24$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $24$ .

$24$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = 6$ تساوي $24$ .

$y = 24$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$f (9) = - {(9)}^{2} + 17 (9) - 42$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$f (9) = - 1 \cdot 81 + 17 (9) - 42$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $- 1$ في $81$ .

$f (9) = - 81 + 17 (9) - 42$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $17$ في $9$ .

$f (9) = - 81 + 153 - 42$

خطوة 2.8.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

أضف $- 81$ و $153$ .

$f (9) = 72 - 42$

خطوة 2.8.2.2

اطرح $42$ من $72$ .

$f (9) = 30$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $30$ .

$30$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 9$ تساوي $30$ .

$y = 30$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $10$ في العبارة.

$f (10) = - {(10)}^{2} + 17 (10) - 42$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$f (10) = - 1 \cdot 100 + 17 (10) - 42$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $- 1$ في $100$ .

$f (10) = - 100 + 17 (10) - 42$

خطوة 2.11.1.3

اضرب $17$ في $10$ .

$f (10) = - 100 + 170 - 42$

خطوة 2.11.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

أضف $- 100$ و $170$ .

$f (10) = 70 - 42$

خطوة 2.11.2.2

اطرح $42$ من $70$ .

$f (10) = 28$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $28$ .

$28$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 10$ تساوي $28$ .

$y = 28$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & 24 \\ 7 & 28 \\ \frac{17}{2} & \frac{121}{4} \\ 9 & 30 \\ 10 & 28 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(\frac{17}{2}, \frac{121}{4})$

البؤرة: $(\frac{17}{2}, 30)$

محور التناظر: $x = \frac{17}{2}$

الدليل: $y = \frac{61}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 & 24 \\ 7 & 28 \\ \frac{17}{2} & \frac{121}{4} \\ 9 & 30 \\ 10 & 28 \end{array}$

خطوة 4