حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{5}{2} \cdot \sin (x + \frac{π}{3})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = \frac{5}{2}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $\frac{5}{2}$

خطوة 3

أوجِد فترة $\frac{5 \sin (x + \frac{π}{3})}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{π}{3}}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $- \frac{π}{3}$ على $1$ .

إزاحة الطور: $- \frac{π}{3}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $\frac{5}{2}$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{5 \sin ((- \frac{π}{3}) + \frac{π}{3})}{2}$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{- π + π}{3})}{2}$

خطوة 6.1.2.1.2

أضف $- π$ و $π$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{0}{3})}{2}$

خطوة 6.1.2.1.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{5 \sin (0)}{2}$

خطوة 6.1.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{5 \cdot 0}{2}$

خطوة 6.1.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اضرب $5$ في $0$ .

$f (- \frac{π}{3}) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.1.2.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (- \frac{π}{3}) = 0$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin ((\frac{π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{6})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.4.2

أضف $π$ و $2 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{6})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 (π)}{6})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{2}$

خطوة 6.2.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $5$ في $1$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{5}{2}$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{5 \sin ((\frac{2 π}{3}) + \frac{π}{3})}{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{2 π + π}{3})}{2}$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $2 π$ و $π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{3})}{2}$

خطوة 6.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{3})}{2}$

خطوة 6.3.2.1.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{5 \sin (π)}{2}$

خطوة 6.3.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{5 \sin (0)}{2}$

خطوة 6.3.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{5 \cdot 0}{2}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

اضرب $5$ في $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.3.2.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{7 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin ((\frac{7 π}{6}) + \frac{π}{3})}{2}$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.2.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.4.2

أضف $7 π$ و $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{9 π}{6})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

خطوة 6.4.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{2}$

خطوة 6.4.2.1.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

خطوة 6.4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = \frac{- 5}{2}$

خطوة 6.4.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{5}{2}$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{5}{2}$ .

$- \frac{5}{2}$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin ((\frac{5 π}{3}) + \frac{π}{3})}{2}$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{5 π + π}{3})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.2

أضف $5 π$ و $π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{6 π}{3})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{3 (2 π)}{3})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (\frac{2 π}{1})}{2}$

خطوة 6.5.2.1.3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (2 π)}{2}$

خطوة 6.5.2.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \sin (0)}{2}$

خطوة 6.5.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 \cdot 0}{2}$

خطوة 6.5.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

اضرب $5$ في $0$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.5.2.2.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 0$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & 0 \\ \frac{π}{6} & \frac{5}{2} \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{7 π}{6} & - \frac{5}{2} \\ \frac{5 π}{3} & 0 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $\frac{5}{2}$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & 0 \\ \frac{π}{6} & \frac{5}{2} \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{7 π}{6} & - \frac{5}{2} \\ \frac{5 π}{3} & 0 \end{array}$

خطوة 8