حساب المثلثات الأمثلة

$y = 3 \cos (2 π x + 4 π)$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 3$

$b = 2 π$

$c = - 4 π$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $3$

خطوة 3

أوجِد فترة $3 \cos (2 π x + 4 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $2 π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

خطوة 3.3

$2 π$ تساوي تقريبًا $6.2831853$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- 4 π}{2 π}$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 π$ .

إزاحة الطور: $\frac{2 (- 2 π)}{2 π}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

إزاحة الطور: $\frac{2 (- 2 π)}{2 (π)}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{2 (- 2 π)}{2 π}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{- 2 π}{π}$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{- 2 π}{π}$

خطوة 4.4.2

اقسِم $- 2$ على $1$ .

إزاحة الطور: $- 2$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $3$

الفترة: $1$

إزاحة الطور: $- 2$ ( $2$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 3 \cos (2 π (- 2) + 4 π)$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f (- 2) = 3 \cos (- 4 π + 4 π)$

خطوة 6.1.2.2

أضف $- 4 π$ و $4 π$ .

$f (- 2) = 3 \cos (0)$

خطوة 6.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 1$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f (- 2) = 3$

خطوة 6.1.2.5

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = - \frac{7}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{7}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 π (- \frac{7}{4}) + 4 π)$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7}{4}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 7}{4}) + 4 π)$

خطوة 6.2.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 7}{4}) + 4 π)$

خطوة 6.2.2.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 7}{2 (2)}) + 4 π)$

خطوة 6.2.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 7}{2 \cdot 2}) + 4 π)$

خطوة 6.2.2.1.1.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (π (\frac{- 7}{2}) + 4 π)$

خطوة 6.2.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{- 7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{π \cdot - 7}{2} + 4 π)$

خطوة 6.2.2.1.3

انقُل $- 7$ إلى يسار $π$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{- 7 \cdot π}{2} + 4 π)$

خطوة 6.2.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (- \frac{7 π}{2} + 4 π)$

خطوة 6.2.2.2

لكتابة $4 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (- \frac{7 π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.2.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اجمع $4 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (- \frac{7 π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.2.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{- 7 π + 4 π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{- 7 π + 8 π}{2})$

خطوة 6.2.2.4.2

أضف $- 7 π$ و $8 π$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 3 \cdot 0$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $3$ في $0$ .

$f (- \frac{7}{4}) = 0$

خطوة 6.2.2.7

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = - \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 π (- \frac{3}{2}) + 4 π)$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 3}{2}) + 4 π)$

خطوة 6.3.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 3}{2}) + 4 π)$

خطوة 6.3.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 3}{2}) + 4 π)$

خطوة 6.3.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (π \cdot - 3 + 4 π)$

خطوة 6.3.2.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $π$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (- 3 π + 4 π)$

خطوة 6.3.2.2

أضف $- 3 π$ و $4 π$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cos (π)$

خطوة 6.3.2.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (- \cos (0))$

خطوة 6.3.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.3.2.5

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 1$

خطوة 6.3.2.5.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (- \frac{3}{2}) = - 3$

خطوة 6.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = - \frac{5}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{5}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 π (- \frac{5}{4}) + 4 π)$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{4}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 5}{4}) + 4 π)$

خطوة 6.4.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 5}{4}) + 4 π)$

خطوة 6.4.2.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 (π) (\frac{- 5}{2 (2)}) + 4 π)$

خطوة 6.4.2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (2 π (\frac{- 5}{2 \cdot 2}) + 4 π)$

خطوة 6.4.2.1.1.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (π (\frac{- 5}{2}) + 4 π)$

خطوة 6.4.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{- 5}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{π \cdot - 5}{2} + 4 π)$

خطوة 6.4.2.1.3

انقُل $- 5$ إلى يسار $π$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{- 5 \cdot π}{2} + 4 π)$

خطوة 6.4.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + 4 π)$

خطوة 6.4.2.2

لكتابة $4 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اجمع $4 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{- 5 π + 4 π \cdot 2}{2})$

خطوة 6.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{- 5 π + 8 π}{2})$

خطوة 6.4.2.4.2

أضف $- 5 π$ و $8 π$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 3 \cdot 0$

خطوة 6.4.2.7

اضرب $3$ في $0$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 0$

خطوة 6.4.2.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 3 \cos (2 π (- 1) + 4 π)$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f (- 1) = 3 \cos (- 2 π + 4 π)$

خطوة 6.5.2.2

أضف $- 2 π$ و $4 π$ .

$f (- 1) = 3 \cos (2 π)$

خطوة 6.5.2.3

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- 1) = 3 \cos (0)$

خطوة 6.5.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1$

خطوة 6.5.2.5

اضرب $3$ في $1$ .

$f (- 1) = 3$

خطوة 6.5.2.6

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 2 & 3 \\ - \frac{7}{4} & 0 \\ - \frac{3}{2} & - 3 \\ - \frac{5}{4} & 0 \\ - 1 & 3 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $3$

الفترة: $1$

إزاحة الطور: $- 2$ ( $2$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 2 & 3 \\ - \frac{7}{4} & 0 \\ - \frac{3}{2} & - 3 \\ - \frac{5}{4} & 0 \\ - 1 & 3 \end{array}$

خطوة 8