حساب المثلثات الأمثلة

$y = 2 \sin (\frac{2 π}{3} x) + 0.5$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 2$

$b = \frac{2 π}{3}$

$c = 0$

$d = 0.5$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $2$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $2 \sin (\frac{2 π x}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{3} |}$

خطوة 3.1.3

$\frac{2 π}{3}$ تساوي تقريبًا $2.0943951$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{3}}$

خطوة 3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{3}{2 π}$

خطوة 3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 π \frac{3}{2 π}$

خطوة 3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$3$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $0.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{3} |}$

خطوة 3.2.3

$\frac{2 π}{3}$ تساوي تقريبًا $2.0943951$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{3}}$

خطوة 3.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{3}{2 π}$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 π \frac{3}{2 π}$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$3$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$3$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{0}{\frac{2 π}{3}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $0 (\frac{3}{2 π})$

خطوة 4.4

اضرب $0$ في $\frac{3}{2 π}$ .

إزاحة الطور: $0$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $2$

الفترة: $3$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: $0.5$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 \sin (\frac{2 π (0)}{3}) + 0.5$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $3$ من $2 π (0)$ .

$f (0) = 2 \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}) + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (0) = 2 \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}) + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (0) = 2 \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}) + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (0) = 2 \sin (\frac{2 π \cdot (0)}{1}) + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.1.2.4

اقسِم $2 π \cdot (0)$ على $1$ .

$f (0) = 2 \sin (2 π \cdot (0)) + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.2

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.2.1

اضرب $0$ في $2$ .

$f (0) = 2 \sin (0 π) + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.2.2

اضرب $0$ في $π$ .

$f (0) = 2 \sin (0) + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + 0.5$

خطوة 6.1.2.1.4

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0.5$

خطوة 6.1.2.2

أضف $0$ و $0.5$ .

$f (0) = 0.5$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0.5$ .

$0.5$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{2 π (\frac{3}{4})}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{4}$ و $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 \cdot 2}{4} \cdot π}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.1.2

اجمع $\frac{3 \cdot 2}{4}$ و $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{4}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.3

اختزِل العبارة $\frac{6 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 \cdot 1 + 0.5$

خطوة 6.2.2.1.7

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2 + 0.5$

خطوة 6.2.2.2

أضف $2$ و $0.5$ .

$f (\frac{3}{4}) = 2.5$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $2.5$ .

$2.5$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{2 π (\frac{3}{2})}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 \cdot 2}{2} \cdot π}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.1.2

اجمع $\frac{3 \cdot 2}{2}$ و $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{2}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{\frac{6 π}{2}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

اختزِل العبارة $\frac{6 π}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{\frac{3 π}{1}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.3.2

اقسِم $3 π$ على $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{3}) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (π) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \sin (0) + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 0 + 0.5$

خطوة 6.3.2.1.7

اضرب $2$ في $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0 + 0.5$

خطوة 6.3.2.2

أضف $0$ و $0.5$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0.5$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $0.5$ .

$0.5$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{9}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{2 π (\frac{9}{4})}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

اجمع $\frac{9}{4}$ و $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{9 \cdot 2}{4} \cdot π}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.1.2

اجمع $\frac{9 \cdot 2}{4}$ و $π$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{9 \cdot (2 π)}{4}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.2

اضرب $9$ في $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.3

اختزِل العبارة $\frac{18 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $18 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9}{4}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{9}{4}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 (- 1 \cdot 1) + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.8

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.8.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 2 \cdot - 1 + 0.5$

خطوة 6.4.2.1.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 2 + 0.5$

خطوة 6.4.2.2

أضف $- 2$ و $0.5$ .

$f (\frac{9}{4}) = - 1.5$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.5$ .

$- 1.5$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = 2 \sin (\frac{2 π (3)}{3}) + 0.5$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3) = 2 \sin (\frac{2 π \cdot 3}{3}) + 0.5$

خطوة 6.5.2.1.1.2

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (3) = 2 \sin (2 π) + 0.5$

خطوة 6.5.2.1.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (3) = 2 \sin (0) + 0.5$

خطوة 6.5.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (3) = 2 \cdot 0 + 0.5$

خطوة 6.5.2.1.4

اضرب $2$ في $0$ .

$f (3) = 0 + 0.5$

خطوة 6.5.2.2

أضف $0$ و $0.5$ .

$f (3) = 0.5$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $0.5$ .

$0.5$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0.5 \\ \frac{3}{4} & 2.5 \\ \frac{3}{2} & 0.5 \\ \frac{9}{4} & - 1.5 \\ 3 & 0.5 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $2$

الفترة: $3$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: $0.5$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0.5 \\ \frac{3}{4} & 2.5 \\ \frac{3}{2} & 0.5 \\ \frac{9}{4} & - 1.5 \\ 3 & 0.5 \end{array}$

خطوة 8