حساب المثلثات الأمثلة

$y = 0.5 \sin (2 π x) + \frac{2}{3}$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 0.5$

$b = 2 π$

$c = 0$

$d = \frac{2}{3}$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $0.5$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $0.5 \sin (2 π x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $2 π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

خطوة 3.1.3

$2 π$ تساوي تقريبًا $6.2831853$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $\frac{2}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $2 π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

خطوة 3.2.3

$2 π$ تساوي تقريبًا $6.2831853$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2 π}$

خطوة 3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π}{π}$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$1$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{0}{2 π}$

خطوة 4.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

إزاحة الطور: $\frac{2 (0)}{2 π}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

إزاحة الطور: $\frac{2 (0)}{2 (π)}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{0}{π}$

خطوة 4.4

اقسِم $0$ على $π$ .

إزاحة الطور: $0$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $0.5$

الفترة: $1$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: $\frac{2}{3}$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 0.5 \sin (2 π (0)) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$f (0) = 0.5 \sin (0 π) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.1.2.1.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$f (0) = 0.5 \sin (0) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.1.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = 0.5 \cdot 0 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.1.2.1.3

اضرب $0.5$ في $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.1.2.2

أضف $0$ و $\frac{2}{3}$ .

$f (0) = \frac{2}{3}$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{4})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{1}{4})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{1}{2 (2)})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{2 \cdot 2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (π (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \sin (\frac{π}{2}) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \cdot 1 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.1.4

اضرب $0.5$ في $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.2

لكتابة $0.5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 0.5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اجمع $0.5$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{0.5 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 6.2.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{4}) = \frac{0.5 \cdot 3 + 2}{3}$

خطوة 6.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

اضرب $0.5$ في $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{1.5 + 2}{3}$

خطوة 6.2.2.4.2

أضف $1.5$ و $2$ .

$f (\frac{1}{4}) = \frac{3.5}{3}$

خطوة 6.2.2.5

اقسِم $3.5$ على $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 1.1\overline{6}$

خطوة 6.2.2.6

الإجابة النهائية هي $1.1\overline{6}$ .

$1.1\overline{6}$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (π) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \sin (0) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0.5 \cdot 0 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.1.4

اضرب $0.5$ في $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.2

أضف $0$ و $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3}$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{3}{4})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{3}{4})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 (π) (\frac{3}{2 (2)})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (2 π (\frac{3}{2 \cdot 2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (π (\frac{3}{2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.2

اجمع $π$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2}) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2}) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 (- \sin (\frac{π}{2})) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 (- 1 \cdot 1) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.6

اضرب $0.5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.5 \cdot - 1 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.1.6.2

اضرب $0.5$ في $- 1$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 0.5 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.2

لكتابة $- 0.5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 0.5 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اجمع $- 0.5$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 0.5 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 6.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 0.5 \cdot 3 + 2}{3}$

خطوة 6.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1

اضرب $- 0.5$ في $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{- 1.5 + 2}{3}$

خطوة 6.4.2.4.2

أضف $- 1.5$ و $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{0.5}{3}$

خطوة 6.4.2.5

اقسِم $0.5$ على $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0.1\overline{6}$

خطوة 6.4.2.6

الإجابة النهائية هي $0.1\overline{6}$ .

$0.1\overline{6}$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = 0.5 \sin (2 π (1)) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1) = 0.5 \sin (2 π) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2.1.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (1) = 0.5 \sin (0) + \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (1) = 0.5 \cdot 0 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2.1.4

اضرب $0.5$ في $0$ .

$f (1) = 0 + \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2.2

أضف $0$ و $\frac{2}{3}$ .

$f (1) = \frac{2}{3}$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{4} & 1.167 \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} & 0.167 \\ 1 & \frac{2}{3} \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $0.5$

الفترة: $1$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: $\frac{2}{3}$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{4} & 1.167 \\ \frac{1}{2} & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{4} & 0.167 \\ 1 & \frac{2}{3} \end{array}$

خطوة 8