حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{1}{4} \cdot \cos (x + \frac{π}{4})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $\frac{1}{4}$

خطوة 3

أوجِد فترة $\frac{\cos (x + \frac{π}{4})}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{π}{4}}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $- \frac{π}{4}$ على $1$ .

إزاحة الطور: $- \frac{π}{4}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $\frac{1}{4}$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\cos ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})}{4}$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{- π + π}{4})}{4}$

خطوة 6.1.2.1.2

أضف $- π$ و $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{0}{4})}{4}$

خطوة 6.1.2.1.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\cos (0)}{4}$

خطوة 6.1.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$

خطوة 6.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})}{4}$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{π + π}{4})}{4}$

خطوة 6.2.2.1.2

أضف $π$ و $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{4})}{4}$

خطوة 6.2.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 (π)}{4})}{4}$

خطوة 6.2.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{4}$

خطوة 6.2.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{4}$

خطوة 6.2.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{4}$

خطوة 6.2.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{0}{4}$

خطوة 6.2.2.2

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 0$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})}{4}$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{3 π + π}{4})}{4}$

خطوة 6.3.2.1.2

أضف $3 π$ و $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{4 π}{4})}{4}$

خطوة 6.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{4 π}{4})}{4}$

خطوة 6.3.2.1.3.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\cos (π)}{4}$

خطوة 6.3.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- \cos (0)}{4}$

خطوة 6.3.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1 \cdot 1}{4}$

خطوة 6.3.2.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 1}{4}$

خطوة 6.3.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3 π}{4}) = - \frac{1}{4}$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})}{4}$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{5 π + π}{4})}{4}$

خطوة 6.4.2.1.2

أضف $5 π$ و $π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{6 π}{4})}{4}$

خطوة 6.4.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 (3 π)}{4})}{4}$

خطوة 6.4.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})}{4}$

خطوة 6.4.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})}{4}$

خطوة 6.4.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{4}$

خطوة 6.4.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{4}$

خطوة 6.4.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{0}{4}$

خطوة 6.4.2.2

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 0$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{7 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})}{4}$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{7 π + π}{4})}{4}$

خطوة 6.5.2.1.2

أضف $7 π$ و $π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{8 π}{4})}{4}$

خطوة 6.5.2.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{4 (2 π)}{4})}{4}$

خطوة 6.5.2.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})}{4}$

خطوة 6.5.2.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})}{4}$

خطوة 6.5.2.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{1})}{4}$

خطوة 6.5.2.1.3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (2 π)}{4}$

خطوة 6.5.2.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\cos (0)}{4}$

خطوة 6.5.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{1}{4}$

خطوة 6.5.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{5 π}{4} & 0 \\ \frac{7 π}{4} & \frac{1}{4} \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $\frac{1}{4}$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{5 π}{4} & 0 \\ \frac{7 π}{4} & \frac{1}{4} \end{array}$

خطوة 8