حساب المثلثات الأمثلة

$y = \frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{3}{4} x)$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $\frac{1}{2}$

خطوة 3

أوجِد فترة $\frac{\cos (\frac{3 x}{4})}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{3}{4}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{4} |}$

خطوة 3.3

$\frac{3}{4}$ تساوي تقريبًا $0.75$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{3}{4}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{4}{3}$

خطوة 3.5

اضرب $2 π \frac{4}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{3} π$

خطوة 3.5.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8}{3} π$

خطوة 3.5.3

اجمع $\frac{8}{3}$ و $π$ .

$\frac{8 π}{3}$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{0}{\frac{3}{4}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $0 (\frac{4}{3})$

خطوة 4.4

اضرب $0$ في $\frac{4}{3}$ .

إزاحة الطور: $0$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $\frac{1}{2}$

الفترة: $\frac{8 π}{3}$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{\cos (\frac{3 (0)}{4})}{2}$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $3 (0)$ .

$f (0) = \frac{\cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4})}{2}$

خطوة 6.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (0) = \frac{\cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 (1)})}{2}$

خطوة 6.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (0) = \frac{\cos (\frac{4 (3 \cdot (0))}{4 \cdot 1})}{2}$

خطوة 6.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (0) = \frac{\cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{2}$

خطوة 6.1.2.1.2.4

اقسِم $3 \cdot (0)$ على $1$ .

$f (0) = \frac{\cos (3 \cdot (0))}{2}$

خطوة 6.1.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اضرب $3$ في $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2}$

خطوة 6.1.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع $3$ و $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{6 π}{3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.3.2

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{2 (π)}{4})}{2}$

خطوة 6.2.2.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.2.2.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.2.2.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

خطوة 6.2.2.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.2.2.5

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 0$

خطوة 6.2.2.6

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{4 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{3 (\frac{4 π}{3})}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{12 π}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{12 π}{3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $12 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (4 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{4 π}{1}}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.3.2

اقسِم $4 π$ على $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{4 π}{4})}{2}$

خطوة 6.3.2.4.1.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\cos (π)}{2}$

خطوة 6.3.2.4.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- \cos (0)}{2}$

خطوة 6.3.2.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

خطوة 6.3.2.4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.3.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{2}$

خطوة 6.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2 π$ في العبارة.

$f (2 π) = \frac{\cos (\frac{3 (2 π)}{4})}{2}$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $3 (2 π)$ .

$f (2 π) = \frac{\cos (\frac{2 (3 (π))}{4})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (2 π) = \frac{\cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 π) = \frac{\cos (\frac{2 (3 (π))}{2 \cdot 2})}{2}$

خطوة 6.4.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (2 π) = \frac{\cos (\frac{3 (π)}{2})}{2}$

خطوة 6.4.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (2 π) = \frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}$

خطوة 6.4.2.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (2 π) = \frac{0}{2}$

خطوة 6.4.2.3

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (2 π) = 0$

خطوة 6.4.2.4

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{8 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{8 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{3 (\frac{8 π}{3})}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{8 π}{3}$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.2

اضرب $3$ في $8$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{24 π}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{24 π}{3}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $24 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3}}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 (1)}}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{3 (8 π)}{3 \cdot 1}}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{\frac{8 π}{1}}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.3.2

اقسِم $8 π$ على $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{8 π}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{4 (2 π)}{4})}{2}$

خطوة 6.5.2.4.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})}{2}$

خطوة 6.5.2.4.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})}{2}$

خطوة 6.5.2.4.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (\frac{2 π}{1})}{2}$

خطوة 6.5.2.4.1.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (2 π)}{2}$

خطوة 6.5.2.4.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{\cos (0)}{2}$

خطوة 6.5.2.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{8 π}{3}) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.5.2.5

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & \frac{1}{2} \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $\frac{1}{2}$

الفترة: $\frac{8 π}{3}$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{2 π}{3} & 0 \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{1}{2} \\ 2 π & 0 \\ \frac{8 π}{3} & \frac{1}{2} \end{array}$

خطوة 8