حساب المثلثات الأمثلة

$y = 3 \cos (x + 3 π) + 2$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = 3$

$b = 1$

$c = - 3 π$

$d = 2$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $3$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $3 \cos (x + 3 π)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.1.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$2 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- 3 π}{1}$

خطوة 4.3

اقسِم $- 3 π$ على $1$ .

إزاحة الطور: $- 3 π$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $3$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- 3 π$ ( $3 π$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $2$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - 3 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3 π$ في العبارة.

$f (- 3 π) = 3 \cos ((- 3 π) + 3 π) + 2$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

أضف $- 3 π$ و $3 π$ .

$f (- 3 π) = 3 \cos (0) + 2$

خطوة 6.1.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- 3 π) = 3 \cdot 1 + 2$

خطوة 6.1.2.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f (- 3 π) = 3 + 2$

خطوة 6.1.2.2

أضف $3$ و $2$ .

$f (- 3 π) = 5$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = - \frac{5 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{5 π}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{5 π}{2}) = 3 \cos ((- \frac{5 π}{2}) + 3 π) + 2$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

لكتابة $3 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 π}{2}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + 3 π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.2

اجمع $3 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 π}{2}) = 3 \cos (- \frac{5 π}{2} + \frac{3 π \cdot 2}{2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{5 π}{2}) = 3 \cos (\frac{- 5 π + 3 π \cdot 2}{2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.4.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (- \frac{5 π}{2}) = 3 \cos (\frac{- 5 π + 6 π}{2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.4.2

أضف $- 5 π$ و $6 π$ .

$f (- \frac{5 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π}{2}) + 2$

خطوة 6.2.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- \frac{5 π}{2}) = 3 \cdot 0 + 2$

خطوة 6.2.2.1.6

اضرب $3$ في $0$ .

$f (- \frac{5 π}{2}) = 0 + 2$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f (- \frac{5 π}{2}) = 2$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = - 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2 π$ في العبارة.

$f (- 2 π) = 3 \cos ((- 2 π) + 3 π) + 2$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أضف $- 2 π$ و $3 π$ .

$f (- 2 π) = 3 \cos (π) + 2$

خطوة 6.3.2.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (- 2 π) = 3 (- \cos (0)) + 2$

خطوة 6.3.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- 2 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 2$

خطوة 6.3.2.1.4

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- 2 π) = 3 \cdot - 1 + 2$

خطوة 6.3.2.1.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (- 2 π) = - 3 + 2$

خطوة 6.3.2.2

أضف $- 3$ و $2$ .

$f (- 2 π) = - 1$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = - \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cos ((- \frac{3 π}{2}) + 3 π) + 2$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

لكتابة $3 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + 3 π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.2

اجمع $3 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cos (- \frac{3 π}{2} + \frac{3 π \cdot 2}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{- 3 π + 3 π \cdot 2}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.4.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{- 3 π + 6 π}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.4.2

أضف $- 3 π$ و $6 π$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π}{2}) + 2$

خطوة 6.4.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 0 + 2$

خطوة 6.4.2.1.7

اضرب $3$ في $0$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 0 + 2$

خطوة 6.4.2.2

أضف $0$ و $2$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 2$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = - π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- π$ في العبارة.

$f (- π) = 3 \cos ((- π) + 3 π) + 2$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

أضف $- π$ و $3 π$ .

$f (- π) = 3 \cos (2 π) + 2$

خطوة 6.5.2.1.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- π) = 3 \cos (0) + 2$

خطوة 6.5.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- π) = 3 \cdot 1 + 2$

خطوة 6.5.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$f (- π) = 3 + 2$

خطوة 6.5.2.2

أضف $3$ و $2$ .

$f (- π) = 5$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $5$ .

$5$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 π & 5 \\ - \frac{5 π}{2} & 2 \\ - 2 π & - 1 \\ - \frac{3 π}{2} & 2 \\ - π & 5 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $3$

الفترة: $2 π$

إزاحة الطور: $- 3 π$ ( $3 π$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 π & 5 \\ - \frac{5 π}{2} & 2 \\ - 2 π & - 1 \\ - \frac{3 π}{2} & 2 \\ - π & 5 \end{array}$

خطوة 8