حساب المثلثات الأمثلة

$y = - \sin (\frac{2 π x}{3})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \sin (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - 1$

$b = \frac{2 π}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $1$

خطوة 3

أوجِد فترة $- \sin (\frac{2 π x}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{3} |}$

خطوة 3.3

$\frac{2 π}{3}$ تساوي تقريبًا $2.0943951$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{3}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{3}{2 π}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 π \frac{3}{2 π}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$3$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{0}{\frac{2 π}{3}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $0 (\frac{3}{2 π})$

خطوة 4.4

اضرب $0$ في $\frac{3}{2 π}$ .

إزاحة الطور: $0$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $1$

الفترة: $3$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - \sin (\frac{2 π (0)}{3})$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $2 π (0)$ .

$f (0) = - \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3})$

خطوة 6.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (0) = - \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)})$

خطوة 6.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (0) = - \sin (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

خطوة 6.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (0) = - \sin (\frac{2 π \cdot (0)}{1})$

خطوة 6.1.2.1.2.4

اقسِم $2 π \cdot (0)$ على $1$ .

$f (0) = - \sin (2 π \cdot (0))$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اضرب $0$ في $2$ .

$f (0) = - \sin (0 π)$

خطوة 6.1.2.2.2

اضرب $0$ في $π$ .

$f (0) = - \sin (0)$

خطوة 6.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (0) = - 0$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 6.1.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{2 π (\frac{3}{4})}{3})$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

اجمع $\frac{3}{4}$ و $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{\frac{3 \cdot 2}{4} \cdot π}{3})$

خطوة 6.2.2.1.2

اجمع $\frac{3 \cdot 2}{4}$ و $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.2.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

خطوة 6.2.2.2.2

اختزِل العبارة $\frac{6 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.2.2.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

خطوة 6.2.2.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

خطوة 6.2.2.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

خطوة 6.2.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{4}) = - \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 1 \cdot 1$

خطوة 6.2.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3}{4}) = - 1$

خطوة 6.2.2.7

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{2 π (\frac{3}{2})}{3})$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{\frac{3 \cdot 2}{2} \cdot π}{3})$

خطوة 6.3.2.1.2

اجمع $\frac{3 \cdot 2}{2}$ و $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{2}}{3})$

خطوة 6.3.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

خطوة 6.3.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{6 π}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.2

اقسِم $3 π$ على $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (π)$

خطوة 6.3.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3}{2}) = - \sin (0)$

خطوة 6.3.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 0$

خطوة 6.3.2.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (\frac{3}{2}) = 0$

خطوة 6.3.2.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{9}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{2 π (\frac{9}{4})}{3})$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

اجمع $\frac{9}{4}$ و $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{\frac{9 \cdot 2}{4} \cdot π}{3})$

خطوة 6.4.2.1.2

اجمع $\frac{9 \cdot 2}{4}$ و $π$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{\frac{9 \cdot (2 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.4.2.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.1

اضرب $9$ في $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

خطوة 6.4.2.2.2

اختزِل العبارة $\frac{18 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.4.2.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

خطوة 6.4.2.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

خطوة 6.4.2.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

خطوة 6.4.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9}{4}) = - \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$f (\frac{9}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = - (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.4.2.7

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 1$

خطوة 6.4.2.7.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{9}{4}) = 1$

خطوة 6.4.2.8

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = - \sin (\frac{2 π (3)}{3})$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3) = - \sin (\frac{2 π \cdot 3}{3})$

خطوة 6.5.2.1.2

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (3) = - \sin (2 π)$

خطوة 6.5.2.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (3) = - \sin (0)$

خطوة 6.5.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f (3) = - 0$

خطوة 6.5.2.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (3) = 0$

خطوة 6.5.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{3}{4} & - 1 \\ \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{9}{4} & 1 \\ 3 & 0 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $1$

الفترة: $3$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{3}{4} & - 1 \\ \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{9}{4} & 1 \\ 3 & 0 \end{array}$

خطوة 8