حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 θ)$

خطوة 1

يُعد استخدام مبرهنة دي موافر $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ من الطرق الجيدة لتوسيع $\sin (2 θ)$ . عندما تكون $r = 1$ ، $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن من $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ باستخدام مبرهنة ذات الحدين.

وسّع: ${(\cos (θ) + i \cdot \sin (θ))}^{2}$

خطوة 3

أعِد كتابة ${(\cos (θ) + i \sin (θ))}^{2}$ بالصيغة $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ .

$(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

وسّع $(\cos (θ) + i \sin (θ)) (\cos (θ) + i \sin (θ))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

خطوة 5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\cos (θ) \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

ارفع $\cos (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

خطوة 5.1.1.2

ارفع $\cos (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

خطوة 5.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

خطوة 5.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) (i \sin (θ)) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

خطوة 5.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i \sin (θ) (i \sin (θ))$

خطوة 5.1.3

اضرب $i \sin (θ) (i \sin (θ))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i \sin (θ) \sin (θ)$

خطوة 5.1.3.2

ارفع $i$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1} i^{1} \sin (θ) \sin (θ)$

خطوة 5.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{1 + 1} \sin (θ) \sin (θ)$

خطوة 5.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin (θ) \sin (θ)$

خطوة 5.1.3.5

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

خطوة 5.1.3.6

ارفع $\sin (θ)$ إلى القوة $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

خطوة 5.1.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1}$

خطوة 5.1.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) + i^{2} \sin^{2} (θ)$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - 1 \sin^{2} (θ)$

خطوة 5.1.5

أعِد كتابة $- 1 \sin^{2} (θ)$ بالصيغة $- \sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \sin (θ) \cos (θ) - \sin^{2} (θ)$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب عوامل $i \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) + i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

خطوة 5.3

أضف $i \cos (θ) \sin (θ)$ و $i \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ)$

خطوة 6

انقُل $- \sin^{2} (θ)$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

خطوة 7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية لدالة جيب التمام.

$\cos (2 θ) + 2 i \cos (θ) \sin (θ)$

خطوة 8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف الأقواس.

$\cos (2 θ) + 2 i (\cos (θ) \sin (θ))$

خطوة 8.2

أعِد ترتيب $2 i$ و $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\cos (2 θ) + \cos (θ) \sin (θ) (2 i)$

خطوة 8.3

أضف الأقواس.

$\cos (2 θ) + \cos (θ) (\sin (θ) \cdot 2) i$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب $\cos (θ)$ و $\sin (θ) \cdot 2$ .

$\cos (2 θ) + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) i$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب $\sin (θ)$ و $2$ .

$\cos (2 θ) + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) i$

خطوة 8.6

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$

خطوة 9

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (2 θ) + \sin (2 θ) i$ .

$\cos (2 θ) + i \sin (2 θ)$

خطوة 10

استخرِج العبارات ذات الجزء التخيّلي والتي تساوي $\sin (2 θ)$ . واحذف العدد التخيّلي $i$ .

$\sin (2 θ) = 2 \sin (θ) \cos (θ)$