حساب المثلثات الأمثلة

$4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أكمل المربع لـ $4 x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 4$

$b = 4$

$c = 0$

خطوة 1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (4)}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.1.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{4}$

خطوة 1.1.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$d = \frac{2 (1)}{4}$

خطوة 1.1.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{1}{2}$

خطوة 1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $4^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.1.4.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

خطوة 1.1.4.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.1.4.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.1.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 1.1.4.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 1.1.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$

خطوة 1.2

استبدِل $4 x^{2} + 4 x$ بـ $4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1$ في المعادلة $4 x^{2} + 4 x + y^{2} = 0$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 1 + y^{2} = 0$

خطوة 1.3

انقُل $- 1$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 0 + 1$

خطوة 1.4

أضف $0$ و $1$ .

$4 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = 1$

خطوة 1.5

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{4}} + y^{2} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = - \frac{1}{2}$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- \frac{1}{2}, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 5.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

خطوة 5.3.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

خطوة 5.3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

خطوة 5.3.7

اطرح $1$ من $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

خطوة 5.3.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{3}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.3.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- \frac{1}{2}, 0 + 1)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(- \frac{1}{2}, 1)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (1))$

خطوة 6.6

بسّط.

$(- \frac{1}{2}, - 1)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- \frac{1}{2}, 0 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 7.3

بسّط.

$(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(- \frac{1}{2}, 0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

خطوة 7.6

بسّط.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اقسِم $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ على $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

خطوة 8.3.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

خطوة 8.3.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

خطوة 8.3.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

خطوة 8.3.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

خطوة 8.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

خطوة 8.3.8

اطرح $1$ من $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

خطوة 8.3.9

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{3}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

خطوة 8.3.10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.10.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 8.3.10.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 10