حساب المثلثات الأمثلة

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y + 1575 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $1575$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $25 y^{2} - 400 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 25$

$b = - 400$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 400}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 400$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 400$ .

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 (25)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 200}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 200}{25}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 200$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $- 200$ .

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{25 \cdot - 8}{25 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 8}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 8$ على $1$ .

$d = - 8$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 400)}^{2}}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 400$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{160000}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $25$ .

$e = 0 - \frac{160000}{100}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $160000$ على $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 1600$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1600$ .

$e = 0 - 1600$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $1600$ من $0$ .

$e = - 1600$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ .

$25 {(y - 8)}^{2} - 1600$

خطوة 1.3

استبدِل $25 y^{2} - 400 y$ بـ $25 {(y - 8)}^{2} - 1600$ في المعادلة $x^{2} + 25 y^{2} - 400 y = - 1575$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} - 1600 = - 1575$

خطوة 1.4

انقُل $- 1600$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1600$ إلى كلا الطرفين.

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = - 1575 + 1600$

خطوة 1.5

أضف $- 1575$ و $1600$ .

$x^{2} + 25 {(y - 8)}^{2} = 25$

خطوة 1.6

اقسِم كل حد على $25$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{25 {(y - 8)}^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + {(y - 8)}^{2} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 8$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 8)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

خطوة 5.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\sqrt{25 - 1}$

خطوة 5.3.4

اطرح $1$ من $25$ .

$\sqrt{24}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

خطوة 5.3.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{6}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + 5, 8)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(5, 8)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (5), 8)$

خطوة 6.6

بسّط.

$(- 5, 8)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + 2 \sqrt{6}, 8)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(2 \sqrt{6}, 8)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع ناقص بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (2 \sqrt{6}), 8)$

خطوة 7.6

بسّط.

$(- 2 \sqrt{6}, 8)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}}{5}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1^{2}}}{5}$

خطوة 8.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 1}}{5}$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1}}{5}$

خطوة 8.3.4

اطرح $1$ من $25$ .

$\frac{\sqrt{24}}{5}$

خطوة 8.3.5

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $2^{2} \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{5}$

خطوة 8.3.5.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{5}$

خطوة 8.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 8)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2 \sqrt{6}, 8)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{6}, 8)$

الاختلاف المركزي: $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

خطوة 10