حساب المثلثات الأمثلة

$x^{2} + 6 x - 3 y - 6 = 0$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$6 x - 3 y - 6 = - x^{2}$

خطوة 1.1.2

اطرح $6 x$ من كلا المتعادلين.

$- 3 y - 6 = - x^{2} - 6 x$

خطوة 1.1.3

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$

خطوة 1.2

اقسِم كل حد في $- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $- 3 y = - x^{2} - 6 x + 6$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.2.2.1

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3 (1)} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.3.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 (2 x)}{- 3 \cdot 1} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.3.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{1} + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.3.1.2.2.4

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2 x + \frac{6}{- 3}$

خطوة 1.2.3.1.3

اقسِم $6$ على $- 3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2 x - 2$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أكمل المربع لـ $\frac{x^{2}}{3} + 2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = 2$

$c = - 2$

خطوة 2.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{3})}$

خطوة 2.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{3})}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

خطوة 2.1.1.3.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = 1 \cdot 3$

خطوة 2.1.1.3.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$d = 3$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

خطوة 2.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{3})}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{4}{3}}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e = - 2 - (4 (\frac{3}{4}))$

خطوة 2.1.1.4.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = - 2 - (4 (\frac{3}{4}))$

خطوة 2.1.1.4.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = - 2 - 1 \cdot 3$

خطوة 2.1.1.4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$e = - 2 - 3$

خطوة 2.1.1.4.2.2

اطرح $3$ من $- 2$ .

$e = - 5$

خطوة 2.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $\frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - 5$ .

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} - 5$

خطوة 2.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} - 5$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 3$

$k = - 5$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 3, - 5)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

خطوة 2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

خطوة 2.5.3.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 (\frac{3}{4})$

خطوة 2.5.3.3

اضرب $\frac{3}{4}$ في $1$ .

$\frac{3}{4}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 3, - \frac{17}{4})$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = - 3$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{23}{4}$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 3, - 5)$

البؤرة: $(- 3, - \frac{17}{4})$

محور التناظر: $x = - 3$

الدليل: $y = - \frac{23}{4}$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 3, - 5)$

البؤرة: $(- 3, - \frac{17}{4})$

محور التناظر: $x = - 3$

الدليل: $y = - \frac{23}{4}$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{3} + 2 (- 4) - 2$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + 2 (- 4) - 2$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} - 8 - 2$

خطوة 3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اكتب $- 8$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} - 2$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $\frac{- 8}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $\frac{- 8}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} - 2$

خطوة 3.2.2.4

اكتب $- 2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

خطوة 3.2.2.5

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.2.2.6

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 4) = \frac{16 - 8 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $- 8$ في $3$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 24 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 24 - 6}{3}$

خطوة 3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اطرح $24$ من $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 8 - 6}{3}$

خطوة 3.2.5.2

اطرح $6$ من $- 8$ .

$f (- 4) = \frac{- 14}{3}$

خطوة 3.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 4) = - \frac{14}{3}$

خطوة 3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

خطوة 3.3

قيمة $y$ عند $x = - 4$ تساوي $- \frac{14}{3}$ .

$y = - \frac{14}{3}$

خطوة 3.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{3} + 2 (- 5) - 2$

خطوة 3.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + 2 (- 5) - 2$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} - 10 - 2$

خطوة 3.5.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اكتب $- 10$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10}{1} - 2$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $\frac{- 10}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

خطوة 3.5.2.3

اضرب $\frac{- 10}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} - 2$

خطوة 3.5.2.4

اكتب $- 2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

خطوة 3.5.2.5

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.5.2.6

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اضرب $- 10$ في $3$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 30 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 30 - 6}{3}$

خطوة 3.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

اطرح $30$ من $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 5 - 6}{3}$

خطوة 3.5.5.2

اطرح $6$ من $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 11}{3}$

خطوة 3.5.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 5) = - \frac{11}{3}$

خطوة 3.5.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{11}{3}$ .

$- \frac{11}{3}$

خطوة 3.6

قيمة $y$ عند $x = - 5$ تساوي $- \frac{11}{3}$ .

$y = - \frac{11}{3}$

خطوة 3.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{3} + 2 (0) - 2$

خطوة 3.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{0}{3} + 2 (0) - 2$

خطوة 3.8.1.2

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 2$

خطوة 3.8.1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

خطوة 3.8.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

خطوة 3.8.2.2

اطرح $2$ من $0$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 3.8.3

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 3.9

قيمة $y$ عند $x = 0$ تساوي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 3.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + 2 (- 2) - 2$

خطوة 3.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

اكتب $2 (- 2)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2)}{1} - 2$

خطوة 3.11.1.2

اضرب $\frac{2 (- 2)}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2)}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2$

خطوة 3.11.1.3

اضرب $\frac{2 (- 2)}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} - 2$

خطوة 3.11.1.4

اكتب $- 2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}$

خطوة 3.11.1.5

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.11.1.6

اضرب $\frac{- 2}{1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{2 (- 2) \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.11.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 2 (- 2) \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.11.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 + 2 (- 2) \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.11.3.2

اضرب $2 (- 2) \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.2.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.11.3.2.2

اضرب $- 4$ في $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 12 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.11.3.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 12 - 6}{3}$

خطوة 3.11.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

اطرح $12$ من $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 6}{3}$

خطوة 3.11.4.2

اطرح $6$ من $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 14}{3}$

خطوة 3.11.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 2) = - \frac{14}{3}$

خطوة 3.11.5

الإجابة النهائية هي $- \frac{14}{3}$ .

$- \frac{14}{3}$

خطوة 3.12

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $- \frac{14}{3}$ .

$y = - \frac{14}{3}$

خطوة 3.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{11}{3} \\ - 4 & - \frac{14}{3} \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{14}{3} \\ 0 & - 2 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 3, - 5)$

البؤرة: $(- 3, - \frac{17}{4})$

محور التناظر: $x = - 3$

الدليل: $y = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - \frac{11}{3} \\ - 4 & - \frac{14}{3} \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{14}{3} \\ 0 & - 2 \end{array}$

خطوة 5