حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 8$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(8)}^{2} + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{64 + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{64 + 16}$

خطوة 5.3.3

أضف $64$ و $16$ .

$\sqrt{80}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $80$ بالصيغة $4^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $16$ من $80$ .

$\sqrt{16 (5)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2} \cdot 5}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$4 \sqrt{5}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(8, 0)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 8, 0)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(8, 0), (- 8, 0)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4 \sqrt{5}, 0)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 4 \sqrt{5}, 0)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(4 \sqrt{5}, 0), (- 4 \sqrt{5}, 0)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} + {(4)}^{2}}}{8}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 4^{2}}}{8}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 16}}{8}$

خطوة 8.3.1.3

أضف $64$ و $16$ .

$\frac{\sqrt{80}}{8}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة $80$ بالصيغة $4^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $80$ .

$\frac{\sqrt{16 (5)}}{8}$

خطوة 8.3.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{8}$

خطوة 8.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{4 \sqrt{5}}{8}$

خطوة 8.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 (\sqrt{5})}{8}$

خطوة 8.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

خطوة 8.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sqrt{5}}{4 \cdot 2}$

خطوة 8.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{4^{2}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $4^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{5})}$

خطوة 9.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{4}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{4}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.3.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 9.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 9.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

خطوة 11

بسّط $\frac{1}{2} x + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $\frac{1}{2} x$ و $0$ .

$y = \frac{1}{2} x$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{x}{2}$

خطوة 12

بسّط $- \frac{1}{2} x + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $- \frac{1}{2} x$ و $0$ .

$y = - \frac{1}{2} x$

خطوة 12.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

الرؤوس: $(8, 0), (- 8, 0)$

البؤر: $(4 \sqrt{5}, 0), (- 4 \sqrt{5}, 0)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

المعلمة البؤرية: $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

خطوط التقارب: $y = \frac{x}{2}$ ، $y = - \frac{x}{2}$

خطوة 15