حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{80} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 4 \sqrt{5}$

$b = 8$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{16 \cdot 5^{1} - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{16 \cdot 5 - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اضرب $16$ في $5$ .

$\sqrt{80 - {(8)}^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{80 - 1 \cdot 64}$

خطوة 5.3.3.3

اضرب $- 1$ في $64$ .

$\sqrt{80 - 64}$

خطوة 5.3.3.4

اطرح $64$ من $80$ .

$\sqrt{16}$

خطوة 5.3.3.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

خطوة 5.3.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, 0 + 4 \sqrt{5})$

خطوة 6.3

بسّط.

$(0, 4 \sqrt{5})$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, 0 - (4 \sqrt{5}))$

خطوة 6.6

بسّط.

$(0, - 4 \sqrt{5})$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, 0 + 4)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(0, 4)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0, 0 - (4))$

خطوة 7.6

بسّط.

$(0, - 4)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} - {(8)}^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 \sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{16 {\sqrt{5}}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{\frac{2}{2}} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5^{1} - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{16 \cdot 5 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $16$ في $5$ .

$\frac{\sqrt{80 - 8^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.5

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{80 - 1 \cdot 64}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.6

اضرب $- 1$ في $64$ .

$\frac{\sqrt{80 - 64}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.7

اطرح $64$ من $80$ .

$\frac{\sqrt{16}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.8

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{4 \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

خطوة 8.3.3

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 8.3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.4.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 8.3.4.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 8.3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 8.3.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 8.3.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 4 \sqrt{5})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 4)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 4)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

خطوة 10