حساب المثلثات الأمثلة

$- 5 \cos (\frac{2 π (t + 7)}{8}) + 4$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - 5$

$b = \frac{π}{4}$

$c = - \frac{7 π}{4}$

$d = 4$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $5$

خطوة 3

أوجِد الفترة باستخدام القاعدة $\frac{2 π}{| b |}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد فترة $- 5 \cos (\frac{π (x + 7)}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.1.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{π}{4}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

خطوة 3.1.3

$\frac{π}{4}$ تساوي تقريبًا $0.78539816$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

خطوة 3.1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{4}{π}$

خطوة 3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

خطوة 3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

خطوة 3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 4$

خطوة 3.1.6

اضرب $2$ في $4$ .

$8$

خطوة 3.2

أوجِد فترة $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{π}{4}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

خطوة 3.2.3

$\frac{π}{4}$ تساوي تقريبًا $0.78539816$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

خطوة 3.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{4}{π}$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

أخرِج العامل $π$ من $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

خطوة 3.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

خطوة 3.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 4$

خطوة 3.2.6

اضرب $2$ في $4$ .

$8$

خطوة 3.3

فترة جمع أو طرح الدوال المثلثية هي القيمة القصوى للفترات الفردية.

$8$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{7 π}{4}}{\frac{π}{4}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $- \frac{7 π}{4} \cdot \frac{4}{π}$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7 π}{4}$ إلى بسط الكسر.

إزاحة الطور: $\frac{- 7 π}{4} \cdot \frac{4}{π}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $π$ من $- 7 π$ .

إزاحة الطور: $\frac{π \cdot - 7}{4} \cdot \frac{4}{π}$

خطوة 4.4.3

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{π \cdot - 7}{4} \cdot \frac{4}{π}$

خطوة 4.4.4

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $\frac{- 7}{4} \cdot 4$

خطوة 4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

إزاحة الطور: $\frac{- 7}{4} \cdot 4$

خطوة 4.5.2

أعِد كتابة العبارة.

إزاحة الطور: $- 7$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $5$

الفترة: $8$

إزاحة الطور: $- 7$ ( $7$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $4$

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 7$ في العبارة.

$f (- 7) = - 5 \cos (\frac{π ((- 7) + 7)}{4}) + 4$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

أضف $- 7$ و $7$ .

$f (- 7) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 0}{4}) + 4$

خطوة 6.1.2.1.2

اضرب $π$ في $0$ .

$f (- 7) = - 5 \cos (\frac{0}{4}) + 4$

خطوة 6.1.2.1.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$f (- 7) = - 5 \cos (0) + 4$

خطوة 6.1.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- 7) = - 5 \cdot 1 + 4$

خطوة 6.1.2.1.5

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f (- 7) = - 5 + 4$

خطوة 6.1.2.2

أضف $- 5$ و $4$ .

$f (- 7) = - 1$

خطوة 6.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = - 5 \cos (\frac{π ((- 5) + 7)}{4}) + 4$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أضف $- 5$ و $7$ .

$f (- 5) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 2}{4}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $π \cdot 2$ .

$f (- 5) = - 5 \cos (\frac{2 \cdot π}{4}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- 5) = - 5 \cos (\frac{2 \cdot π}{2 \cdot 2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 5) = - 5 \cos (\frac{2 \cdot π}{2 \cdot 2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 5) = - 5 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

خطوة 6.2.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- 5) = - 5 \cdot 0 + 4$

خطوة 6.2.2.1.4

اضرب $- 5$ في $0$ .

$f (- 5) = 0 + 4$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$f (- 5) = 4$

خطوة 6.2.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = - 5 \cos (\frac{π ((- 3) + 7)}{4}) + 4$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أضف $- 3$ و $7$ .

$f (- 3) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 4}{4}) + 4$

خطوة 6.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 3) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 4}{4}) + 4$

خطوة 6.3.2.1.2.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (- 3) = - 5 \cos (π) + 4$

خطوة 6.3.2.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (- 3) = - 5 (- \cos (0)) + 4$

خطوة 6.3.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- 3) = - 5 (- 1 \cdot 1) + 4$

خطوة 6.3.2.1.5

اضرب $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- 3) = - 5 \cdot - 1 + 4$

خطوة 6.3.2.1.5.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$f (- 3) = 5 + 4$

خطوة 6.3.2.2

أضف $5$ و $4$ .

$f (- 3) = 9$

خطوة 6.3.2.3

الإجابة النهائية هي $9$ .

$9$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{π ((- 1) + 7)}{4}) + 4$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

أضف $- 1$ و $7$ .

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 6}{4}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $π \cdot 6$ .

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{2 (π \cdot 3)}{4}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{2 (π \cdot 3)}{2 (2)}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{2 (π \cdot 3)}{2 \cdot 2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 3}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{3 \cdot π}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- 1) = - 5 \cos (\frac{π}{2}) + 4$

خطوة 6.4.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (- 1) = - 5 \cdot 0 + 4$

خطوة 6.4.2.1.6

اضرب $- 5$ في $0$ .

$f (- 1) = 0 + 4$

خطوة 6.4.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$f (- 1) = 4$

خطوة 6.4.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$4$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - 5 \cos (\frac{π ((1) + 7)}{4}) + 4$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

أضف $1$ و $7$ .

$f (1) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 8}{4}) + 4$

خطوة 6.5.2.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $π \cdot 8$ .

$f (1) = - 5 \cos (\frac{4 (π \cdot 2)}{4}) + 4$

خطوة 6.5.2.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$f (1) = - 5 \cos (\frac{4 (π \cdot 2)}{4 (1)}) + 4$

خطوة 6.5.2.1.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (1) = - 5 \cos (\frac{4 (π \cdot 2)}{4 \cdot 1}) + 4$

خطوة 6.5.2.1.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (1) = - 5 \cos (\frac{π \cdot 2}{1}) + 4$

خطوة 6.5.2.1.2.2.4

اقسِم $π \cdot 2$ على $1$ .

$f (1) = - 5 \cos (π \cdot 2) + 4$

خطوة 6.5.2.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (1) = - 5 \cos (2 \cdot π) + 4$

خطوة 6.5.2.1.4

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (1) = - 5 \cos (0) + 4$

خطوة 6.5.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (1) = - 5 \cdot 1 + 4$

خطوة 6.5.2.1.6

اضرب $- 5$ في $1$ .

$f (1) = - 5 + 4$

خطوة 6.5.2.2

أضف $- 5$ و $4$ .

$f (1) = - 1$

خطوة 6.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 7 & - 1 \\ - 5 & 4 \\ - 3 & 9 \\ - 1 & 4 \\ 1 & - 1 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $5$

الفترة: $8$

إزاحة الطور: $- 7$ ( $7$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: $4$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 7 & - 1 \\ - 5 & 4 \\ - 3 & 9 \\ - 1 & 4 \\ 1 & - 1 \end{array}$

خطوة 8