حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = - 2 \cos (5 x - \frac{π}{3})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - 2$

$b = 5$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $2$

خطوة 3

أوجِد فترة $- 2 \cos (5 x - \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $5$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

خطوة 3.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $5$ تساوي $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{\frac{π}{3}}{5}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 4.4

اضرب $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{1}{5}$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{3 \cdot 5}$

خطوة 4.4.2

اضرب $3$ في $5$ .

إزاحة الطور: $\frac{π}{15}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $2$

الفترة: $\frac{2 π}{5}$

إزاحة الطور: $\frac{π}{15}$ ( $\frac{π}{15}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{15}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{π}{15}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{π}{5 (3)}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{π}{5 \cdot 3}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cos (\frac{π - π}{3})$

خطوة 6.1.2.3

اطرح $π$ من $π$ .

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cos (\frac{0}{3})$

خطوة 6.1.2.4

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cos (0)$

خطوة 6.1.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{15}) = - 2 \cdot 1$

خطوة 6.1.2.6

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (\frac{π}{15}) = - 2$

خطوة 6.1.2.7

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (5 (\frac{π}{6}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع $5$ و $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.2.2.2

لكتابة $- \frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.2.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{5 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{5 π - 2 π}{6})$

خطوة 6.2.2.5.2

اطرح $2 π$ من $5 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{6})$

خطوة 6.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

خطوة 6.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = - 2 \cdot 0$

خطوة 6.2.2.8

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f (\frac{π}{6}) = 0$

خطوة 6.2.2.9

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{4 π}{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4 π}{15}$ في العبارة.

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{4 π}{15}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{4 π}{5 (3)}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{4 π}{5 \cdot 3}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{4 π}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{4 π - π}{3})$

خطوة 6.3.2.3

اطرح $π$ من $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cos (π)$

خطوة 6.3.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 (- \cos (0))$

خطوة 6.3.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.3.2.7

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{4 π}{15}) = - 2 \cdot - 1$

خطوة 6.3.2.7.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (\frac{4 π}{15}) = 2$

خطوة 6.3.2.8

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{11 π}{30}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{11 π}{30}$ في العبارة.

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (5 (\frac{11 π}{30}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

أخرِج العامل $5$ من $30$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (5 (\frac{11 π}{5 (6)}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (5 (\frac{11 π}{5 \cdot 6}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2.2

لكتابة $- \frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.4.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.4.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{11 π}{6} - \frac{π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{11 π - π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{11 π - 2 π}{6})$

خطوة 6.4.2.5.2

اطرح $2 π$ من $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{9 π}{6})$

خطوة 6.4.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

خطوة 6.4.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

خطوة 6.4.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.4.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = - 2 \cdot 0$

خطوة 6.4.2.9

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f (\frac{11 π}{30}) = 0$

خطوة 6.4.2.10

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{7 π}{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{15}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{7 π}{15}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{7 π}{5 (3)}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (5 (\frac{7 π}{5 \cdot 3}) - \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{7 π}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{7 π - π}{3})$

خطوة 6.5.2.3

اطرح $π$ من $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{6 π}{3})$

خطوة 6.5.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

خطوة 6.5.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

خطوة 6.5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

خطوة 6.5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (\frac{2 π}{1})$

خطوة 6.5.2.4.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (2 π)$

خطوة 6.5.2.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cos (0)$

خطوة 6.5.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2 \cdot 1$

خطوة 6.5.2.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (\frac{7 π}{15}) = - 2$

خطوة 6.5.2.8

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{15} & - 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{15} & 2 \\ \frac{11 π}{30} & 0 \\ \frac{7 π}{15} & - 2 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $2$

الفترة: $\frac{2 π}{5}$

إزاحة الطور: $\frac{π}{15}$ ( $\frac{π}{15}$ إلى اليمين)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{15} & - 2 \\ \frac{π}{6} & 0 \\ \frac{4 π}{15} & 2 \\ \frac{11 π}{30} & 0 \\ \frac{7 π}{15} & - 2 \end{array}$

خطوة 8