حساب المثلثات الأمثلة

$a = 8$ , $c = 13$ , $B = 150$

خطوة 1

استخدِم قانون جيب التمام لإيجاد طول الضلع المجهول في المثلث بمعلومية طولي الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 13 \cos (150)}$

خطوة 4

بسّط النتائج.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$b = \sqrt{64 + {(13)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

خطوة 4.2

ارفع $13$ إلى القوة $2$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 2 \cdot 8 \cdot (13 \cos (150))}$

خطوة 4.3

اضرب $- 2 \cdot 8 \cdot 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 2$ في $8$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 16 \cdot (13 \cos (150))}$

خطوة 4.3.2

اضرب $- 16$ في $13$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \cos (150)}$

خطوة 4.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \cos (30))}$

خطوة 4.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (30)$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

خطوة 4.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$b = \sqrt{64 + 169 - 208 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

خطوة 4.6.2

أخرِج العامل $2$ من $- 208$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 (- 104) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

خطوة 4.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$b = \sqrt{64 + 169 + 2 \cdot (- 104 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

خطوة 4.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$b = \sqrt{64 + 169 - 104 (- \sqrt{3})}$

خطوة 4.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $- 104$ .

$b = \sqrt{64 + 169 + 104 \sqrt{3}}$

خطوة 4.7.2

أضف $64$ و $169$ .

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

خطوة 5

يستند قانون الجيب إلى تناسب الزوايا مع الأضلاع المقابلة لها في المثلثات. ينص القانون على أنه بالنسبة إلى زوايا المثلث غير القائم، فإن كل زاوية في المثلث لها نفس نسبة قياس الزاوية إلى قيمة جيب الزاوية.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

خطوة 6

عوّض بالقيم المعروفة في قانون الجيب لإيجاد $A$ .

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7

أوجِد قيمة $A$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب كلا المتعادلين في $8$ .

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

بسّط $8 \frac{\sin (150)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.2.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (30)$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.2.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sin (A) = 8 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

خطوة 7.2.2.1.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = 8 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$ .

$\sin (A) = 2 (4) \frac{1}{2 (\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}})}$

خطوة 7.2.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (A) = 2 \cdot 4 \frac{1}{2 \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (A) = 4 \frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.2.2.1.5

اجمع $4$ و $\frac{1}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$ .

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}}$

خطوة 7.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $A$ من داخل الجيب.

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$

خطوة 7.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}})$ .

$A = 11.34962381$

خطوة 7.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $180$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$A = 180 - 11.34962381$

خطوة 7.6

اطرح $11.34962381$ من $180$ .

$A = 168.65037618$

خطوة 7.7

حل المعادلة $A = 11.34962381$ .

$A = 11.34962381, 168.65037618$

خطوة 7.8

استبعِد المثلث غير الصحيح.

$A = 11.34962381$

خطوة 8

مجموع جميع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي $180$ من الدرجات.

$11.34962381 + C + 150 = 180$

خطوة 9

أوجِد قيمة $C$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $11.34962381$ و $150$ .

$C + 161.34962381 = 180$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $C$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $161.34962381$ من كلا المتعادلين.

$C = 180 - 161.34962381$

خطوة 9.2.2

اطرح $161.34962381$ من $180$ .

$C = 18.65037618$

خطوة 10

هذه هي نتائج إيجاد جميع زوايا وأضلاع المثلث المحدد.

$A = 11.34962381$

$B = 150$

$C = 18.65037618$

$a = 8$

$b = \sqrt{233 + 104 \sqrt{3}}$

$c = 13$