حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (5 x)$

خطوة 1

يُعد استخدام مبرهنة دي موافر $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ من الطرق الجيدة لتوسيع $\sin (5 x)$ . عندما تكون $r = 1$ ، $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن من $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ باستخدام مبرهنة ذات الحدين.

وسّع: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{5}$

خطوة 3

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) (i \sin (x)) + 10 \cos^{3} (x) {(i \sin (x))}^{2} + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cos^{3} (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot i^{2} \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.3

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) + 10 \cdot - 1 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.4

اضرب $10$ في $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) {(i \sin (x))}^{3} + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) (i^{3} \sin^{3} (x)) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot i^{3} \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.7

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (i^{2} \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.8

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- 1 \cdot i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.9

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) + 10 \cdot (- i) \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.10

اضرب $- 1$ في $10$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) {(i \sin (x))}^{4} + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.11

طبّق قاعدة الضرب على $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (i^{4} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.12

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.12.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(i^{2})}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.12.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) ({(- 1)}^{2} \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.12.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) (1 \sin^{4} (x)) + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.13

اضرب $\sin^{4} (x)$ في $1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i \sin (x))}^{5}$

خطوة 4.1.14

طبّق قاعدة الضرب على $i \sin (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{5} \sin^{5} (x)$

خطوة 4.1.15

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i^{4} i \sin^{5} (x)$

خطوة 4.1.16

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.16.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(i^{2})}^{2} i \sin^{5} (x)$

خطوة 4.1.16.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + {(- 1)}^{2} i \sin^{5} (x)$

خطوة 4.1.16.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + 1 i \sin^{5} (x)$

خطوة 4.1.17

اضرب $i$ في $1$ .

$\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب العوامل في $\cos^{5} (x) + 5 \cos^{4} (x) i \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$ .

$\cos^{5} (x) + 5 i \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{3} (x) \sin^{2} (x) - 10 i \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + 5 \cos (x) \sin^{4} (x) + i \sin^{5} (x)$

خطوة 5

استخرِج العبارات ذات الجزء التخيّلي والتي تساوي $\sin (5 x)$ . واحذف العدد التخيّلي $i$ .

$\sin (5 x) = 5 \cos^{4} (x) \sin (x) - 10 \cos^{2} (x) \sin^{3} (x) + \sin^{5} (x)$