حساب المثلثات الأمثلة

$\cos (3 a)$

خطوة 1

يُعد استخدام مبرهنة دي موافر $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ من الطرق الجيدة لتوسيع $\cos (3 a)$ . عندما تكون $r = 1$ ، $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن من $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ باستخدام مبرهنة ذات الحدين.

وسّع: ${(\cos (a) + i \cdot \sin (a))}^{3}$

خطوة 3

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) (i \sin (a)) + 3 \cos (a) {(i \sin (a))}^{2} + {(i \sin (a))}^{3}$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $i \sin (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (i^{2} \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (- 1 \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

خطوة 4.1.3

أعِد كتابة $- 1 \sin^{2} (a)$ بالصيغة $- \sin^{2} (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (- \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + {(i \sin (a))}^{3}$

خطوة 4.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $i \sin (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + i^{3} \sin^{3} (a)$

خطوة 4.1.6

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (a)$

خطوة 4.1.7

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - 1 \cdot i \sin^{3} (a)$

خطوة 4.1.8

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب العوامل في $\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$ .

$\cos^{3} (a) + 3 i \cos^{2} (a) \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$

خطوة 5

استخرِج العبارات ذات الجزء التخيّلي والتي تساوي $\cos (3 a)$ . واحذف العدد التخيّلي $i$ .

$\cos (3 a) = \cos^{3} (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a)$