حساب المثلثات الأمثلة

${(- 1 + i)}^{5}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

${(- 1)}^{5} + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{4} i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.3

اضرب $5$ في $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 {(- 1)}^{3} i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 1 + 5 i + 10 \cdot - 1 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.5

اضرب $10$ في $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 i^{2} + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 1 + 5 i - 10 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.7

اضرب $- 10$ في $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 {(- 1)}^{2} i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.9

اضرب $10$ في $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.10

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.11

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.12

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$- 1 + 5 i + 10 + 10 (- i) + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.13

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i + 5 \cdot - 1 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.14

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 i^{4} + i^{5}$

خطوة 2.1.15

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.15.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}$

خطوة 2.1.15.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}$

خطوة 2.1.15.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 \cdot 1 + i^{5}$

خطوة 2.1.16

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{5}$

خطوة 2.1.17

أخرِج عامل $i^{4}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i^{4} i$

خطوة 2.1.18

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.18.1

أعِد كتابة $i^{4}$ بالصيغة ${(i^{2})}^{2}$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(i^{2})}^{2} i$

خطوة 2.1.18.2

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + {(- 1)}^{2} i$

خطوة 2.1.18.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + 1 i$

خطوة 2.1.19

اضرب $i$ في $1$ .

$- 1 + 5 i + 10 - 10 i - 5 + i$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أضف $- 1$ و $10$ .

$9 + 5 i - 10 i - 5 + i$

خطوة 2.2.2

اطرح $5$ من $9$ .

$4 + 5 i - 10 i + i$

خطوة 2.2.3

اطرح $10 i$ من $5 i$ .

$4 - 5 i + i$

خطوة 2.2.4

أضف $- 5 i$ و $i$ .

$4 - 4 i$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 4$ و $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 4^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

خطوة 6.3

أضف $16$ و $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{- 4}{4}$ ينتج زاوية في الربع الرابع، إذن قيمة الزاوية تساوي $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = - \frac{π}{4}$ و $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$