حساب المثلثات الأمثلة

${(1 + i)}^{3}$

خطوة 1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

خطوة 2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

خطوة 2.1.3

اضرب $3$ في $1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

خطوة 2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

خطوة 2.1.5

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

خطوة 2.1.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

خطوة 2.1.7

أخرِج عامل $i^{2}$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

خطوة 2.1.8

أعِد كتابة $i^{2}$ بالصيغة $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

خطوة 2.1.9

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$1 + 3 i - 3 - i$

خطوة 2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اطرح $3$ من $1$ .

$- 2 + 3 i - i$

خطوة 2.2.2

اطرح $i$ من $3 i$ .

$- 2 + 2 i$

خطوة 3

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 4

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 5

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 2$ و $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

خطوة 6.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

خطوة 6.3

أضف $4$ و $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

خطوة 6.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

خطوة 6.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

خطوة 7

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

خطوة 8

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{2}{- 2}$ ينتج زاوية في الربع الثاني، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 9

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{3 π}{4}$ و $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$