حساب المثلثات الأمثلة

$6 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 6 \sqrt{2}$ و $b = 6 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(6 \sqrt{2})}^{2} + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $6 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{6^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{36 {\sqrt{2}}^{2} + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{36 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{36 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{36 \cdot 2 + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{36 \cdot 2 + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $36$ في $2$ .

$| z | = \sqrt{72 + {(6 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $6 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{72 + 6^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 4.3.3

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{72 + 36 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{72 + 36 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{72 + 36 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{72 + 36 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{72 + 36 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{72 + 36 \cdot 2}$

خطوة 4.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{72 + 36 \cdot 2}$

خطوة 4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $36$ في $2$ .

$| z | = \sqrt{72 + 72}$

خطوة 4.5.2

أضف $72$ و $72$ .

$| z | = \sqrt{144}$

خطوة 4.5.3

أعِد كتابة $144$ بالصيغة $12^{2}$ .

$| z | = \sqrt{12^{2}}$

خطوة 4.5.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 12$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{6 \sqrt{2}}{6 \sqrt{2}})$

خطوة 6

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{6 \sqrt{2}}{6 \sqrt{2}}$ ينتج زاوية في الربع الأول، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{π}{4}$ و $| z | = 12$ .

$12 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$