حساب المثلثات الأمثلة

$- 4 - 4 i \sqrt{3}$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = - 4$ و $b = - 4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4 \sqrt{3})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 3 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 3 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $16$ في $3$ .

$| z | = \sqrt{48 + {(- 4)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{48 + 16}$

خطوة 4.3.3

أضف $48$ و $16$ .

$| z | = \sqrt{64}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

خطوة 4.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 8$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- 4 \sqrt{3}}{- 4})$

خطوة 6

بما أن دالة المماس العكسية لـ $\frac{- 4 \sqrt{3}}{- 4}$ ينتج عنها وجود زاوية في الربع الثالث، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{4 π}{3}$ و $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$