حساب المثلثات الأمثلة

$3 + \sqrt{3} i$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 3$ و $b = \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 3^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3^{2}}$

خطوة 4.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3^{2}}$

خطوة 4.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + 3^{2}}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

خطوة 4.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{3 + 3^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{3 + 9}$

خطوة 4.2.2

أضف $3$ و $9$ .

$| z | = \sqrt{12}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$| z | = \sqrt{4 (3)}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

خطوة 4.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| z | = 2 \sqrt{3}$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

خطوة 6

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ينتج زاوية في الربع الأول، إذن قيمة الزاوية تساوي $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{π}{6}$ و $| z | = 2 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$