حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} i$

خطوة 1

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 2

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 2 \sqrt{2}$ و $b = - 2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد $| z |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $4$ في $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

خطوة 4.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 4.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 4.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 4.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

خطوة 4.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

خطوة 4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $4$ في $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 8}$

خطوة 4.5.2

أضف $8$ و $8$ .

$| z | = \sqrt{16}$

خطوة 4.5.3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

خطوة 4.5.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 4$

خطوة 5

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{- 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}})$

خطوة 6

بما أن المماس المعكوس لـ $\frac{- 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$ ينتج زاوية في الربع الرابع، إذن قيمة الزاوية تساوي $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

خطوة 7

عوّض بقيمتَي $θ = - \frac{π}{4}$ و $| z | = 4$ .

$4 (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$