حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (\frac{7 π}{24}) \cos (\frac{π}{24})$

خطوة 1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{24})$ هي $\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\frac{π}{24}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \cos (\frac{\frac{π}{12}}{2})$

خطوة 1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}})$

خطوة 1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام موجبة في الربع الأول.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{12})}{2}}$

خطوة 1.4

أوجِد القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{12})$ باستخدام متطابقات المجموع والفرق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

قسّم $\frac{π}{12}$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})}{2}}$

خطوة 1.4.2

طبّق متطابقة الفرق بين زاويتين $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

خطوة 1.4.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

خطوة 1.4.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

خطوة 1.4.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})}{2}}$

خطوة 1.4.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

خطوة 1.4.7

بسّط $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1.1.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

خطوة 1.4.7.1.1.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

خطوة 1.4.7.1.1.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

خطوة 1.4.7.1.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{2}}$

خطوة 1.4.7.1.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{2}}$

خطوة 1.4.7.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}{2}}$

خطوة 1.4.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

خطوة 1.5

بسّط $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{\frac{4}{4} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

خطوة 1.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

خطوة 1.5.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

خطوة 1.5.4

اضرب $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اضرب $\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

خطوة 1.5.4.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$

خطوة 1.5.5

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

خطوة 1.5.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

خطوة 1.5.6.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.5.6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 1.5.7

اضرب $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) (\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

خطوة 1.5.8

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.8.1

اضرب $\frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 1.5.8.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 1.5.8.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

خطوة 1.5.8.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

خطوة 1.5.8.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 1.5.8.6

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 1.5.8.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.8.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 1.5.8.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 1.5.8.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.5.8.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.8.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 1.5.8.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

خطوة 1.5.8.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.9

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.10

اضرب $2$ في $2$ .

$\sin (\frac{7 π}{24}) \frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

خطوة 2

اجمع $\sin (\frac{7 π}{24})$ و $\frac{\sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ .

$\frac{\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{(4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

خطوة 3

انقُل $2$ إلى يسار $4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{2 (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})}}{4}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\sin (\frac{7 π}{24}) \sqrt{2 (4 + \sqrt{6} + \sqrt{2})}}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.78656609 \dots$