حساب المثلثات الأمثلة

$5 \cos (θ) = 5 \cos (2 θ)$

خطوة 1

اطرح $5 \cos (2 θ)$ من كلا المتعادلين.

$5 \cos (θ) - 5 \cos (2 θ) = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 0$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 \cos (θ) - 5 (2 \cos^{2} (θ)) - 5 \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $- 5$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) - 5 \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.4

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

خطوة 3

حلّل $5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \cos (θ)$ .

$5 \cos (θ) - 10 \cos^{2} (θ) + 5 = 0$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $5$ من $- 10 \cos^{2} (θ)$ .

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 = 0$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $5$ من $5 \cos (θ) + 5 (- 2 \cos^{2} (θ))$ .

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1) = 0$

خطوة 3.1.5

أخرِج العامل $5$ من $5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ)) + 5 (1)$ .

$5 (\cos (θ) - 2 \cos^{2} (θ) + 1) = 0$

خطوة 3.2

لنفترض أن $u = \cos (θ)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (θ)$ .

$5 (u - 2 u^{2} + 1) = 0$

خطوة 3.3

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$5 (- 2 u^{2} + u + 1) = 0$

خطوة 3.3.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب في $1$ .

$5 (- 2 u^{2} + 1 u + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 1$ زائد $2$

$5 (- 2 u^{2} + (- 1 + 2) u + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (- 2 u^{2} - 1 u + 2 u + 1) = 0$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$5 ((- 2 u^{2} - 1 u) + 2 u + 1) = 0$

خطوة 3.3.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$5 (u (- 2 u - 1) - (- 2 u - 1)) = 0$

خطوة 3.3.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 2 u - 1$ .

$5 ((- 2 u - 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 3.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (θ)$ .

$5 ((- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1)) = 0$

خطوة 3.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $- 2 \cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $- 2 \cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 \cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $θ$ في $- 2 \cos (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 \cos (θ) = 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (θ) = 1$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (θ) = 1$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{- 2}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- \frac{1}{2})$ هي $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6

بسّط $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 5.2.6.3.2

اطرح $2 π$ من $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\cos (θ) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (θ) = 1$

خطوة 6.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (1)$

خطوة 6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 6.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - 0$

خطوة 6.2.5

اطرح $0$ من $2 π$ .

$θ = 2 π$

خطوة 6.2.6

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.7

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $5 (- 2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) - 1) = 0$ صحيحة.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

$θ = \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$