حساب المثلثات الأمثلة

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

خطوة 1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$\sqrt{\tan (2 x)}$

خطوة 2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{\tan (2 x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\tan (2 x) \geq 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$2 x \geq \arctan (0)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$2 x \geq 0$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $2 x \geq 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $2 x \geq 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x \geq 0$

خطوة 3.4

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = π + 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $π$ و $0$ .

$2 x = π$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 3.6

أوجِد فترة $\tan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 3.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 2 |}$

خطوة 3.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 3.7

فترة دالة $\tan (2 x)$ هي $\frac{π}{2}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{π}{2}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.9

أوجِد نطاق $\tan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\tan (2 x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.9.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2} + π n$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2} + π n$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 3.9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 3.9.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 3.9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 3.9.2.3.1.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 3.9.2.3.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

خطوة 3.9.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

خطوة 3.11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < \frac{π}{4}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < \frac{π}{4}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.39$

خطوة 3.11.1.2

استبدِل $x$ بـ $0.39$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

خطوة 3.11.1.3

الطرف الأيسر $0.98926153$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 3.11.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 3.11.2.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (2 (1)) \geq 0$

خطوة 3.11.2.3

الطرف الأيسر $- 2.18503986$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 3.11.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < \frac{π}{4}$ صحيحة

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ خطأ

$0 < x < \frac{π}{4}$ صحيحة

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ خطأ

خطوة 3.12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2} + π n$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{2} + π n$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 5.3.1.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

خطوة 5.3.1.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

خطوة 6

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

خطوة 7

حدد النطاق والمدى.

النطاق: ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

المدى:

خطوة 8