حساب المثلثات الأمثلة

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

خطوة 1

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

خطوة 3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى الطرف الأيمن للمتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أضِف $\frac{π}{2}$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

خطوة 3.2

لكتابة $\frac{π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

خطوة 3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

خطوة 3.5.2

أضف $π$ و $2 π$ .

$3 x > \frac{3 π}{4}$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $3 x > \frac{3 π}{4}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $3 x > \frac{3 π}{4}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x > \frac{π}{4}$

خطوة 5

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 6.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 6.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 6.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 6.1.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

خطوة 6.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $\frac{π}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

خطوة 6.2.2

لكتابة $\frac{π}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

خطوة 6.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

خطوة 6.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

خطوة 6.2.5.2

أضف $5 π$ و $2 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{7 π}{4}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $3 x = \frac{7 π}{4}$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

خطوة 6.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 6.3.3.2

اضرب $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

اضرب $\frac{7 π}{4}$ في $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

خطوة 6.3.3.2.2

اضرب $4$ في $3$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

خطوة 7

أوجِد فترة $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 7.2

استبدِل $b$ بـ $3$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 3 |}$

خطوة 7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{π}{3}$

خطوة 8

فترة دالة $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{π}{3}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

أوجِد نطاق $\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ بحيث تصبح مساوية لـ $\frac{π}{2} + π n$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

أضف $\frac{π}{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

خطوة 10.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

خطوة 10.2.1.3

أضف $π$ و $π$ .

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.2.1.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$3 x = π n + π$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = π n + π$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = π n + π$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

خطوة 10.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

خطوة 12

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 12.1.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

خطوة 12.1.3

الطرف الأيسر $7.01525255$ أكبر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.2

اختبر قيمة في الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اختر قيمة من الفترة $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.44$

خطوة 12.2.2

استبدِل $x$ بـ $1.44$ في المتباينة الأصلية.

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

خطوة 12.2.3

الطرف الأيسر $- 0.4138503$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ خطأ

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ صحيحة

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ خطأ

خطوة 13

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 14

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

خطوة 15