حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

خطوة 3

بما أن العبارة في كل متعادل لها نفس القاسم، إذن يجب أن يكون البسطان متساويين.

$x < π$

خطوة 4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا المتعادلين في $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

خطوة 5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

خطوة 5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $3 (π - \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 5.2.2.1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

خطوة 5.2.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 5.2.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 5.2.2.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = π \cdot 3 - π$

خطوة 5.2.2.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$x = 3 π - π$

خطوة 5.2.2.1.4

اطرح $π$ من $3 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 6

أوجِد فترة $\sin (\frac{x}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{3}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

خطوة 6.3

$\frac{1}{3}$ تساوي تقريبًا $0.\overline{3}$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

خطوة 6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 3$

خطوة 6.5

اضرب $3$ في $2$ .

$6 π$

خطوة 7

فترة دالة $\sin (\frac{x}{3})$ هي $6 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $6 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

خطوة 9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اختبر قيمة في الفترة $π < x < 2 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اختر قيمة من الفترة $π < x < 2 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 5$

خطوة 9.1.2

استبدِل $x$ بـ $5$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.1.3

الطرف الأيسر $0.99540795$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0.8660254$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 9.2

اختبر قيمة في الفترة $2 π < x < 7 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اختر قيمة من الفترة $2 π < x < 7 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 9$

خطوة 9.2.2

استبدِل $x$ بـ $9$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.2.3

الطرف الأيسر $0.14112$ أصغر من الطرف الأيمن $0.8660254$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 9.3

اختبر قيمة في الفترة $7 π < x < 8 π$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اختر قيمة من الفترة $7 π < x < 8 π$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 24$

خطوة 9.3.2

استبدِل $x$ بـ $24$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 9.3.3

الطرف الأيسر $0.98935824$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0.8660254$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 9.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$π < x < 2 π$ خطأ

$2 π < x < 7 π$ صحيحة

$7 π < x < 8 π$ خطأ

$π < x < 2 π$ خطأ

$2 π < x < 7 π$ صحيحة

$7 π < x < 8 π$ خطأ

خطوة 10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

خطوة 12