حساب المثلثات الأمثلة

$y = - 3 \cos (2 x + \frac{π}{3})$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - 3$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{3}$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $3$

خطوة 3

أوجِد فترة $- 3 \cos (2 x + \frac{π}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{- \frac{π}{3}}{2}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 4.4

اضرب $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{π}{3}$ .

إزاحة الطور: $- \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $3$

الفترة: $π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = - \frac{π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{6}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (- \frac{π}{6}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{6}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{- π}{6}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (3)}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 3}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{- π}{3} + \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (- \frac{π}{3} + \frac{π}{3})$

خطوة 6.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{- π + π}{3})$

خطوة 6.1.2.2.2

أضف $- π$ و $π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (\frac{0}{3})$

خطوة 6.1.2.2.3

اقسِم $0$ على $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cos (0)$

خطوة 6.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3 \cdot 1$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - 3$

خطوة 6.1.2.5

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{12}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{2 (6)}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.2.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

خطوة 6.2.2.2

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.2.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π + π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π + 2 \cdot π}{6})$

خطوة 6.2.2.5.2

أضف $π$ و $2 π$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{6})$

خطوة 6.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

خطوة 6.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{π}{12}) = - 3 \cdot 0$

خطوة 6.2.2.8

اضرب $- 3$ في $0$ .

$f (\frac{π}{12}) = 0$

خطوة 6.2.2.9

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (2 (\frac{π}{3}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{3})$

خطوة 6.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{2 π + π}{3})$

خطوة 6.3.2.3

أضف $2 π$ و $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cos (π)$

خطوة 6.3.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{π}{3}) = - 3 (- \cos (0))$

خطوة 6.3.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.3.2.7

اضرب $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = - 3 \cdot - 1$

خطوة 6.3.2.7.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$f (\frac{π}{3}) = 3$

خطوة 6.3.2.8

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{7 π}{12}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{12}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{7 π}{12}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{7 π}{2 (6)}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3})$

خطوة 6.4.2.2

لكتابة $\frac{π}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.4.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.4.2.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π}{6} + \frac{π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π + π \cdot 2}{6})$

خطوة 6.4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.5.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{7 π + 2 \cdot π}{6})$

خطوة 6.4.2.5.2

أضف $7 π$ و $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{9 π}{6})$

خطوة 6.4.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

خطوة 6.4.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

خطوة 6.4.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

خطوة 6.4.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = - 3 \cdot 0$

خطوة 6.4.2.9

اضرب $- 3$ في $0$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 0$

خطوة 6.4.2.10

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = \frac{5 π}{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{6}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (3)}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}) + \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{3})$

خطوة 6.5.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{5 π + π}{3})$

خطوة 6.5.2.3

أضف $5 π$ و $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{6 π}{3})$

خطوة 6.5.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.1

أخرِج العامل $3$ من $6 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

خطوة 6.5.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

خطوة 6.5.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

خطوة 6.5.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

خطوة 6.5.2.4.2.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (2 π)$

خطوة 6.5.2.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cos (0)$

خطوة 6.5.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3 \cdot 1$

خطوة 6.5.2.7

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 3$

خطوة 6.5.2.8

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$- 3$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{3} & 3 \\ \frac{7 π}{12} & 0 \\ \frac{5 π}{6} & - 3 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $3$

الفترة: $π$

إزاحة الطور: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ إلى اليسار)

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{3} & 3 \\ \frac{7 π}{12} & 0 \\ \frac{5 π}{6} & - 3 \end{array}$

خطوة 8