حساب المثلثات الأمثلة

\frac{\frac{1}{sin (x)} + 1}{\frac{1}{sin (x)} - 1} = {tan}^{2} (x) + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيمن.

{tan}^{2} (x) + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة

tan (x)

$\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

{(\frac{sin (x)}{cos (x)})}^{2} + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الضرب على

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.3

أعِد كتابة

tan (x)

$\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + 2 \frac{sin (x)}{cos (x)} sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.4

اجمع

2

$2$ و

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{cos (x)} sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.5

أعِد كتابة

sec (x)

$\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{cos (x)} \cdot \frac{1}{cos (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.6

اضرب

\frac{2 sin (x)}{cos (x)} \cdot \frac{1}{cos (x)}

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب

\frac{2 sin (x)}{cos (x)}

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ في

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{cos (x) cos (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.6.2

ارفع

cos (x)

$\cos (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{1} (x) cos (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.6.3

ارفع

cos (x)

$\cos (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.6.4

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos (x)}^{1 + 1}} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.6.5

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + {sec}^{2} (x)

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x)$

خطوة 2.7

أعِد كتابة

sec (x)

$\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + {(\frac{1}{cos (x)})}^{2}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 2.8

طبّق قاعدة الضرب على

\frac{1}{cos (x)}

$\frac{1}{\cos (x)}$ .

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 2.9

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

\frac{{sin}^{2} (x) + 2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل

sin (x)

$\sin (x)$ من

{sin}^{2} (x) + 2 sin (x)

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل

sin (x)

$\sin (x)$ من

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ .

\frac{sin (x) sin (x) + 2 sin (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل

sin (x)

$\sin (x)$ من

2 sin (x)

$2 \sin (x)$ .

\frac{sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل

sin (x)

$\sin (x)$ من

sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2$ .

\frac{sin (x) (sin (x) + 2)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

\frac{sin (x) (sin (x) + 2)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

\frac{sin (x) (sin (x) + 2) + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) (\sin (x) + 2) + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

\frac{sin (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.2

اضرب

sin (x) sin (x)

$\sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع

sin (x)

$\sin (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) sin (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.2.2

ارفع

sin (x)

$\sin (x)$ إلى القوة

1

$1$ .

\frac{{sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.2.3

استخدِم قاعدة القوة

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

\frac{{sin (x)}^{1 + 1} + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.2.4

أضف

1

$1$ و

1

$1$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{sin}^{2} (x) + sin (x) \cdot 2 + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot 2 + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.3

انقُل

2

$2$ إلى يسار

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{{sin}^{2} (x) + 2 \cdot sin (x) + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.4

أعِد كتابة

{sin}^{2} (x) + 2 sin (x) + 1

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

لنفترض أن

u = sin (x)

$u = \sin (x)$ . استبدِل

u

$u$ بجميع حالات حدوث

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{u^{2} + 2 u + 1}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{u^{2} + 2 u + 1}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.4.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أعِد كتابة

1

$1$ بالصيغة

1^{2}

$1^{2}$ .

\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{u^{2} + 2 u + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.4.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

2 u = 2 \cdot u \cdot 1

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.4.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث

a = u

$a = u$ و

b = 1

$b = 1$ .

\frac{{(u + 1)}^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{(u + 1)}^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث

u

$u$ بـ

sin (x)

$\sin (x)$ .

\frac{{(sin (x) + 1)}^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{(sin (x) + 1)}^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{(sin (x) + 1)}^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

\frac{{(sin (x) + 1)}^{2}}{{cos}^{2} (x)}

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 5

طبّق متطابقة فيثاغورس في الاتجاه المعاكس.

\frac{{(sin (x) + 1)}^{2}}{1 - {sin}^{2} (x)}

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{1 - \sin^{2} (x)}$

خطوة 6

بسّط القاسم.

\frac{{(sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + sin (x)) (1 - sin (x))}

$\frac{{(\sin (x) + 1)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

خطوة 7

احذِف العامل المشترك لـ

{(1 + sin (x))}^{2}

${(1 + \sin (x))}^{2}$ و

1 + sin (x)

$1 + \sin (x)$ .

\frac{1 + sin (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

خطوة 8

أعِد كتابة

\frac{1 + sin (x)}{1 - sin (x)}

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ بالصيغة

\frac{\frac{1}{sin (x)} + 1}{\frac{1}{sin (x)} - 1}

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$ .

\frac{\frac{1}{sin (x)} + 1}{\frac{1}{sin (x)} - 1}

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1}$

خطوة 9

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

\frac{\frac{1}{sin (x)} + 1}{\frac{1}{sin (x)} - 1} = {tan}^{2} (x) + 2 tan (x) sec (x) + {sec}^{2} (x)

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + 1}{\frac{1}{\sin (x)} - 1} = \tan^{2} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) + \sec^{2} (x)$ هي متطابقة