حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيسر.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

خطوة 2

حوّل إلى الجيوب وجيوب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

خطوة 2.2

اكتب $\tan (x)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

خطوة 2.3

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)}$

خطوة 2.4

اكتب $\tan (x)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

خطوة 2.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

خطوة 2.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

خطوة 2.7

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

خطوة 2.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $\frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ في $\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.1.2

اجمع.

$\frac{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${\cos (x)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ ${\cos (x)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${\cos (x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${\cos (x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

خطوة 3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة $1^{4}$ بالصيغة ${(1^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة ${\sin (x)}^{4}$ بالصيغة ${({\sin (x)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {({\sin (x)}^{2})}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1^{2}$ و $b = {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1^{2} + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

خطوة 3.4.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2}$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})}$

خطوة 3.5.1.3

أخرِج العامل ${\cos (x)}^{2}$ من ${\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2} + {\sin (x)}^{2})}$

خطوة 3.5.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1 + {\sin (x)}^{2})}$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $1 + {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 4

انتقِل الآن إلى المتعادل الأيمن.

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

خطوة 5

حوّل إلى الجيوب وجيوب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \tan^{2} (x)$

خطوة 5.2

اكتب $\tan (x)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 9

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ هي متطابقة