حساب المثلثات الأمثلة

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

خطوة 1

ابدأ بالطرف الأيسر.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

خطوة 2

اطرح الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ في $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ في $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ .

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.2

اضرب $\csc (x)$ في $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.3

اضرب $\csc (x) (- \csc (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.3.2

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.6

اضرب $- \csc (x) \csc (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.6.2

ارفع $\csc (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.1.6.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.2

اطرح $\csc (x)$ من $\csc (x)$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.3

أضف $- {\csc (x)}^{2}$ و $0$ .

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 3.4

اطرح ${\csc (x)}^{2}$ من $- {\csc (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وسّع $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

خطوة 4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

خطوة 4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

خطوة 5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب $1$ و $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

خطوة 5.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

خطوة 6

حوّل إلى الجيوب وجيوب التمام.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق المتطابقة المتبادلة على $\csc (x)$ .

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

خطوة 6.2

اكتب $\cot (x)$ على هيئة الجيب وجيب التمام باستخدام متطابقة ناتج القسمة.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

خطوة 6.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

خطوة 6.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

خطوة 7.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

خطوة 7.3

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

خطوة 7.4

ألغِ العامل المشترك لـ ${\sin (x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

خطوة 7.4.2

أخرِج العامل ${\sin (x)}^{2}$ من $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

خطوة 7.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

خطوة 7.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

خطوة 7.5

اجمع $- 2$ و $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

خطوة 7.6

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 8

أعِد كتابة $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة $2 \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec^{2} (x)$

خطوة 9

نظرًا إلى أنه تم إثبات أن المتعادلين متكافئان، فإن المعادلة متطابقة.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ هي متطابقة