حساب المثلثات الأمثلة

$\arctan (\tan (\frac{7 π}{8}))$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{7 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{7 π}{4}}{2}))$

خطوة 2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة المماس.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}})$

خطوة 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}})$

خطوة 4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}})$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}})$

خطوة 4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}})$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}})$

خطوة 4.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

خطوة 4.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

خطوة 4.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}})$

خطوة 4.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}})$

خطوة 4.9

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}})$

خطوة 4.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}})$

خطوة 4.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}})$

خطوة 4.11

اضرب $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ في $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})})$

خطوة 4.12

اضرب $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ في $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}})$

خطوة 4.13

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\arctan (- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}})$

خطوة 4.14

بسّط.

$\arctan (- \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})$

خطوة 4.15

طبّق خاصية التوزيع.

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})$

خطوة 4.16

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (- \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})$

خطوة 4.16.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})$

خطوة 4.17

اجمع $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}})$

خطوة 4.18

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})$

خطوة 4.18.2

اضرب $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.2.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}})$

خطوة 4.18.2.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}})$

خطوة 4.18.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}})$

خطوة 4.18.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}})$

خطوة 4.18.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}})$

خطوة 4.18.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}})$

خطوة 4.18.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}})$

خطوة 4.18.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}})$

خطوة 4.18.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}})$

خطوة 4.18.3.1.5

احسِب قيمة الأُس.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.18.3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}})$

خطوة 4.18.4

احذِف العامل المشترك لـ $2 \sqrt{2} - 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}})$

خطوة 4.18.4.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}})$

خطوة 4.18.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}})$

خطوة 4.18.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}})$

خطوة 4.18.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}})$

خطوة 4.18.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}})$

خطوة 4.18.4.4.4

اقسِم $\sqrt{2} - 1$ على $1$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)})$

خطوة 4.18.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1})$

خطوة 4.18.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1})$

خطوة 4.19

أضف $2$ و $1$ .

$\arctan (- \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}})$

خطوة 4.20

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\arctan (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})$

الصيغة العشرية:

$- 0.39269908 \dots$