حساب المثلثات الأمثلة

$\arctan (\tan (\frac{7 π}{12}))$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{7 π}{12}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\arctan (\tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}))$

خطوة 2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة المماس.

$\arctan (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $1$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})$

خطوة 4.6

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})$

خطوة 4.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

خطوة 4.8

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})$

خطوة 4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})$

خطوة 4.10

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

خطوة 4.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$\arctan (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})$

خطوة 4.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})$

خطوة 4.12

اضرب $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ في $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})$

خطوة 4.13

اضرب $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ في $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})$

خطوة 4.14

وسّع القاسم باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})$

خطوة 4.15

بسّط.

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})$

خطوة 4.16

اقسِم $2 + \sqrt{3}$ على $1$ .

$\arctan (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})$

خطوة 4.17

وسّع $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\arctan (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

خطوة 4.17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})$

خطوة 4.17.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\arctan (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

خطوة 4.18

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.18.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

خطوة 4.18.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})$

خطوة 4.18.1.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})$

خطوة 4.18.1.4

اضرب $3$ في $3$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})$

خطوة 4.18.1.5

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})$

خطوة 4.18.1.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\arctan (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})$

خطوة 4.18.2

أضف $4$ و $3$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})$

خطوة 4.18.3

أضف $2 \sqrt{3}$ و $2 \sqrt{3}$ .

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\arctan (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$

الصيغة العشرية:

$- 1.30899693 \dots$