حساب المثلثات الأمثلة

$\cos^{2} (112.5) - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (112.5)$ هي $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $112.5$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\cos^{2} (\frac{225}{2}) - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثاني.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 + \cos (225)}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

${(- \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.6

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.6.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.1.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

${(- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.2

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.4

اضرب $\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{2 - \sqrt{2}}}^{2}$ بالصيغة $2 - \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ في صورة ${(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(2 - \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.5.5

بسّط.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2^{2}} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.6

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (112.5)$

خطوة 1.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (112.5)$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

أعِد كتابة $112.5$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \sin^{2} (\frac{225}{2})$

خطوة 1.7.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}})}^{2}$

خطوة 1.7.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الثاني.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (45)$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.7

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.7.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}^{2}$

خطوة 1.7.4.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

خطوة 1.7.4.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

خطوة 1.7.4.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

خطوة 1.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 1.9

أعِد كتابة ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ بالصيغة $2 + \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ في صورة ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 1.9.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

خطوة 1.9.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 1.9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

خطوة 1.9.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

خطوة 1.9.5

بسّط.

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

خطوة 1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2}}{4} - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

خطوة 2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 - \sqrt{2} - (2 + \sqrt{2})}{4}$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 - \sqrt{2} - 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{2} - 2 - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 4.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $0$ .

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{4}$

خطوة 4.3

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{4}$

خطوة 4.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{4}$

خطوة 4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (2)}$

خطوة 4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

الصيغة العشرية:

$- 0.70710678 \dots$