حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (\frac{7 π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{7 π}{12})$ هي $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\frac{7 π}{12}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}) \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الثاني.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.7

اضرب $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.8

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 1.4.9.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{5 π}{12})$

خطوة 2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{5 π}{12})$ هي $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم $\frac{5 π}{12}$ إلى زاويتين تُعرف بهما قيم الدوال المثلثية الست.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

خطوة 2.2

طبّق متطابقة مجموع الزوايا.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 2.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 2.7

بسّط $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 2.7.1.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 2.7.1.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.2.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

خطوة 2.7.1.2.2

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

خطوة 2.7.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

خطوة 2.7.1.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

خطوة 2.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

خطوة 3

اضرب $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{8}$

خطوة 4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6}}{8}$

خطوة 5

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \sqrt{6}}{8}$

خطوة 6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6}}{8}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 2} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \cdot 6}}{8}$

الصيغة العشرية:

$0.93301270 \dots$