حساب المثلثات الأمثلة

$z^{3} + 8 = 0$

خطوة 1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$z^{3} = - 8$

خطوة 2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$z^{3} + 8 = 0$

خطوة 3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$z^{3} + 2^{3} = 0$

خطوة 3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = z$ و $b = 2$ .

$(z + 2) (z^{2} - z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 2^{2}) = 0$

خطوة 3.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$z + 2 = 0$

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $z + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $z + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z + 2 = 0$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$z = - 2$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $z^{2} - 2 z + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $z^{2} - 2 z + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z^{2} - 2 z + 4 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $z$ في $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $z$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$z = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$z = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$z = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$z = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 6.2.3.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$z = 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$z = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(z + 2) (z^{2} - 2 z + 4) = 0$ صحيحة.

$z = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$