حساب المثلثات الأمثلة

$\sin^{2} (2 x) - 3 \sin (2 x) + 1 = 0$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (2 x)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

خطوة 2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 3$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.1.3

اطرح $4$ من $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

خطوة 5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 7

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (2 x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (2 x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$2 x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ .

$2 x = 0.39192267$

خطوة 9.3

اقسِم كل حد في $2 x = 0.39192267$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0.39192267$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

خطوة 9.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0.39192267}{2}$

خطوة 9.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0.39192267}{2}$

خطوة 9.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اقسِم $0.39192267$ على $2$ .

$x = 0.19596133$

خطوة 9.4

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$2 x = (3.14159265) - 0.39192267$

خطوة 9.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

اطرح $0.39192267$ من $3.14159265$ .

$2 x = 2.74966997$

خطوة 9.5.2

اقسِم كل حد في $2 x = 2.74966997$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 2.74966997$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

خطوة 9.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2.74966997}{2}$

خطوة 9.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2.74966997}{2}$

خطوة 9.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.3.1

اقسِم $2.74966997$ على $2$ .

$x = 1.37483498$

خطوة 9.6

أوجِد فترة $\sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 9.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 9.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 9.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 9.6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 9.7

فترة دالة $\sin (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.19596133 + π n, 1.37483498 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$