حساب المثلثات الأمثلة

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

خطوة 1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

خطوة 2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\cos (x)}$ في صورة ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

خطوة 2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

خطوة 2.2.1.2

بسّط.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد كتابة ${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ بالصيغة $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ .

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

خطوة 2.3.1.2

وسّع $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

خطوة 2.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

خطوة 2.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.1

اضرب $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3.1.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3.1.1.3

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3.1.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.3.1.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

خطوة 2.3.1.3.2

اطرح $2 \cos (x)$ من $- 2 \cos (x)$ .

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اطرح $4 \cos^{2} (x)$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

خطوة 3.1.2

أضف $4 \cos (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

خطوة 3.1.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.2

أضف $\cos (x)$ و $4 \cos (x)$ .

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 3.3

حلّل $5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (x)$ .

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

خطوة 3.3.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

خطوة 3.3.2.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ ومجموعهما $b = 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 u$ .

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

خطوة 3.3.2.2.2

أعِد كتابة $5$ في صورة $1$ زائد $4$

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

خطوة 3.3.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

خطوة 3.3.2.2.4

اضرب $u$ في $1$ .

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

خطوة 3.3.2.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

خطوة 3.3.2.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

خطوة 3.3.2.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- 4 u + 1$ .

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

خطوة 3.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $- 4 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $- 4 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 4 \cos (x) = - 1$

خطوة 3.5.2.2

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (x) = - 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 4 \cos (x) = - 1$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 3.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 3.5.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

خطوة 3.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

خطوة 3.5.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

خطوة 3.5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.4.1

احسِب قيمة $\arccos (\frac{1}{4})$ .

$x = 1.31811607$

خطوة 3.5.2.5

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

خطوة 3.5.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.1

احذِف الأقواس.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

خطوة 3.5.2.6.2

بسّط $2 (3.14159265) - 1.31811607$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.6.2.1

اضرب $2$ في $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

خطوة 3.5.2.6.2.2

اطرح $1.31811607$ من $6.2831853$ .

$x = 4.96506923$

خطوة 3.5.2.7

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.5.2.8

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.6

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

عيّن قيمة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 3.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x) = 1$

خطوة 3.6.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 3.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.6.2.4

$x = 2 π - 0$

خطوة 3.6.2.5

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 3.6.2.6

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.6.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.6.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.6.2.6.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.6.2.7

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

ادمج $2 π n$ و $2 π + 2 π n$ في $2 π n$ .

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ صحيحة.

$x = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$