حساب المثلثات الأمثلة

$\sqrt{3} \cdot \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 1

استبدِل $\cos^{2} (x)$ بـ $1 - \sin^{2} (x)$ بناءً على المتطابقة $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{3} (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 2.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 3

أعِد ترتيب متعدد الحدود.

$\sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$

خطوة 4

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$\sqrt{3} (- {(u)}^{2}) - 2 u + \sqrt{3} = 0$

خطوة 5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6

عوّض بقيم $a = - \sqrt{3}$ و $b = - 2$ و $c = \sqrt{3}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.3

اضرب $4 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.5

اضرب $4$ في $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.6

أضف $4$ و $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2}}}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u = \frac{2 \pm 4}{2 (- \sqrt{3})}$

خطوة 7.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$u = \frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$

خطوة 7.3

بسّط $\frac{2 \pm 4}{- 2 \sqrt{3}}$ .

$u = \frac{1 \pm 2}{- \sqrt{3}}$

خطوة 7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$u = - \frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$

خطوة 7.5

اضرب $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - (\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

خطوة 7.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

اضرب $\frac{1 \pm 2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 7.6.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 7.6.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 7.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 7.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 7.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 7.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 7.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

خطوة 7.6.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$u = - \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$

خطوة 7.7

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(1 \pm 2) \sqrt{3}}{3}$ .

$u = - \frac{\sqrt{3} (1 \pm 2)}{3}$

خطوة 8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 9

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 10

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = - \sqrt{3}$

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $- \sqrt{3}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 12

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

خطوة 12.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

خطوة 12.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

خطوة 12.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

خطوة 12.4.3

اطرح $0.6154797$ من $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

اسرِد جميع الحلول.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$