حساب المثلثات الأمثلة

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sqrt{2} \cos (θ) = 0$

خطوة 1

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $2 \sin (θ) \cos (θ) + \sqrt{2} \cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \sqrt{2} \cos (θ) = 0$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\sqrt{2} \cos (θ)$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \sqrt{2} = 0$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $\cos (θ)$ من $\cos (θ) (2 \sin (θ)) + \cos (θ) \sqrt{2}$ .

$\cos (θ) (2 \sin (θ) + \sqrt{2}) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$2 \sin (θ) + \sqrt{2} = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.2.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.2.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $2 \sin (θ) + \sqrt{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $2 \sin (θ) + \sqrt{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \sin (θ) + \sqrt{2} = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $2 \sin (θ) + \sqrt{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $\sqrt{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 \sin (θ) = - \sqrt{2}$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $2 \sin (θ) = - \sqrt{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \sin (θ) = - \sqrt{2}$ على $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (θ)$ على $1$ .

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل الجيب.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

خطوة 4.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

خطوة 4.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{5 π}{4}$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة $\sin (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.8

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

اجمع $2 π$ مع $- \frac{π}{4}$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

خطوة 4.2.8.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.8.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.3.1

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 4.2.8.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 4.2.8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.4.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

خطوة 4.2.8.4.2

اطرح $π$ من $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

خطوة 4.2.8.5

اسرِد الزوايا الجديدة.

$θ = \frac{7 π}{4}$

خطوة 4.2.9

فترة دالة $\sin (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (θ) (2 \sin (θ) + \sqrt{2}) = 0$ صحيحة.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$