حساب المثلثات الأمثلة

$\sin (2 x) = \cos (2 x) + 1$

خطوة 1

انقُل كل العبارات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $\cos (2 x)$ من كلا المتعادلين.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) = 1$

خطوة 1.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sin (2 x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (2 x) - 1 = 0$

خطوة 2.1.1.2

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

خطوة 2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

خطوة 2.1.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

خطوة 2.1.1.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

خطوة 2.1.2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اطرح $1$ من $- 1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $- 2$ من $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.2.4

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x)) = 0$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $2 \cos (x)$ من $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) (- \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 5.2.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 5.2.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\sin (x) - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\sin (x) - \cos (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) - \cos (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.2

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.4

افصِل الكسور.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 6.2.6

اقسِم $0$ على $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

خطوة 6.2.7

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

خطوة 6.2.8

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\tan (x) = 1$

خطوة 6.2.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 6.2.10

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.11

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.12

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.12.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.12.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 6.2.12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 6.2.12.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 6.2.13

أوجِد فترة $\tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.13.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

خطوة 6.2.13.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.13.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{π}{1}$

خطوة 6.2.13.4

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 6.2.14

فترة دالة $\tan (x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \cos (x) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.2

ادمج $\frac{π}{4} + π n$ و $\frac{5 π}{4} + π n$ في $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$